3D空间中倾斜坐标系下的点坐标转换问题咨询

嘿，我刚好能解决这个问题——其实你完全不需要纠结欧拉角或者四元数，因为你已经握有最直接的转换信息：新坐标系的轴向量！咱们一步一步来拆解：

当要把标准坐标系（咱们叫它世界系）里的点转换到自定义正交坐标系（局部系）时，本质就是求这个点在局部系三个轴上的投影。因为你提到局部Z轴是X和Y向量的叉乘，说明这个局部系是右手正交坐标系，这时候用点积就能直接算出转换后的坐标，根本不需要旋转角度参数。

原理很简单：假设局部系的三个轴在世界系下的向量是X_local、Y_local、Z_local（都是单位正交向量），那么世界系里的点P可以表示为：

P = x' * X_local + y' * Y_local + z' * Z_local

因为三个轴正交，两边分别和X_local做点积，就能得到x' = P · X_local，同理y'和z'就是点和Y_local、Z_local的点积。

已知：

• 世界系点 P = (2, 0, 0)
• 局部系X轴 X_local = (0, 1, 0)（已经是单位向量）
• 局部系Z轴由X_local × Y_local得到（右手系）

假设你已经有了局部系的Y轴向量（你说的“Y向量（2）”），步骤如下：

1. 先把Y轴向量归一化成单位向量（如果还不是的话）
2. 计算Z轴：Z_local = X_local × 归一化后的Y_local（因为X和Y都是单位向量，叉乘结果已经是单位向量）
3. 计算转换后的坐标：
   • x' = (2,0,0) · (0,1,0) = 0（这部分是固定的，因为你的X_local是(0,1,0)）
   • y' = P · 归一化后的Y_local
   • z' = P · Z_local

举个例子：如果你的Y_local是(1,0,0)，归一化后还是(1,0,0)，Z_local就是(0,1,0) × (1,0,0) = (0,0,-1)，那么转换后的坐标就是(0, 2, 0)。

下面是一个通用的函数，自动处理向量归一化和正交化（避免输入的Y轴和X轴不垂直的误差），用System.Numerics.Vector3（如果你用自定义的Vector类，替换对应方法就行）：

using System.Numerics;

public static class CoordinateConverter
{
    /// <summary>
    /// 将世界坐标系中的点转换到自定义右手正交局部坐标系
    /// </summary>
    /// <param name="worldPoint">世界坐标系中的点</param>
    /// <param name="localX">局部坐标系X轴（世界系下的向量）</param>
    /// <param name="localY">局部坐标系Y轴（世界系下的向量）</param>
    /// <returns>局部坐标系中的点</returns>
    public static Vector3 WorldToLocal(Vector3 worldPoint, Vector3 localX, Vector3 localY)
    {
        // 1. 归一化局部X轴
        Vector3 normalizedX = Vector3.Normalize(localX);
        
        // 2. 对局部Y轴做Gram-Schmidt正交化，确保和X轴垂直，再归一化
        Vector3 orthogonalY = localY - Vector3.Dot(localY, normalizedX) * normalizedX;
        Vector3 normalizedY = Vector3.Normalize(orthogonalY);
        
        // 3. 计算局部Z轴（右手系），自动是单位向量
        Vector3 normalizedZ = Vector3.Cross(normalizedX, normalizedY);
        
        // 4. 计算点积得到局部坐标
        float localXCoord = Vector3.Dot(worldPoint, normalizedX);
        float localYCoord = Vector3.Dot(worldPoint, normalizedY);
        float localZCoord = Vector3.Dot(worldPoint, normalizedZ);
        
        return new Vector3(localXCoord, localYCoord, localZCoord);
    }

    // 调用示例
    public static void ExampleUsage()
    {
        Vector3 worldPoint = new Vector3(2, 0, 0);
        Vector3 localX = new Vector3(0, 1, 0);
        Vector3 localY = new Vector3(1, 0, 0); // 替换成你的实际Y向量
        
        Vector3 localPoint = WorldToLocal(worldPoint, localX, localY);
        // 输出结果：(0, 2, 0)
    }
}

欧拉角和四元数是用来描述从一个坐标系到另一个的旋转过程的，需要知道旋转角度和轴。但你已经直接拿到了局部系的轴向量，这比角度信息更直接——直接用点积转换不仅简单，还能避免欧拉角的万向锁问题，结果也更准确。

• 如果你的局部系轴向量已经是正交单位向量，可以跳过归一化和正交化步骤，直接计算点积，效率更高。
• 如果是左手坐标系，把Z轴的计算改成Vector3.Cross(normalizedY, normalizedX)即可。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者NieNowa