如何在Python中为多条多项式曲线拟合凸包？

我有若干已知表达式的多项式曲线，组合效果如图所示，需要找到能覆盖所有曲线的凸包（类似图中蓝色曲线），想知道Python有没有相关实现函数。

以下是各曲线的函数表达式：

y = 0.00867 * x + -0.00001 * x^2 + 0.00000* x^3+ 24.08735
y = 0.00314 * x + -0.00000 * x^2 + 25.50681
y = 0.00092 * x + -0.00000 * x^2 + 28.09722
y = 0.00480 * x + -0.00000 * x^2 + 30.29156
y = 0.00255 * x + -0.00000 * x^2 + 36.37911

解决方案 #

你需要的其实是上包络线（逐点取所有曲线在对应x处的最大值，连接后形成的曲线），而非传统的点集凸包。Python可以通过numpy和matplotlib轻松实现，步骤如下：

1. 定义多项式函数：将每个表达式转换为可计算的多项式对象，使用numpy.poly1d（注意系数按高次到低次排列）。
2. 生成采样点：确定x的取值区间，生成足够多的采样点以捕捉曲线细节。
3. 计算上包络线：对每个x点，计算所有曲线的y值并取最大值，得到包络线的y值。
4. 可视化验证：绘制原始曲线和包络线，确认覆盖效果。

示例代码 #

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 转换所有多项式为numpy可计算的对象（系数从高次到低次排列）
polynomials = [
    np.poly1d([-0.00001, 0.00867, 24.08735]),  # 对应第一条曲线
    np.poly1d([0, 0.00314, 25.50681]),        # 对应第二条曲线
    np.poly1d([0, 0.00092, 28.09722]),        # 对应第三条曲线
    np.poly1d([0, 0.00480, 30.29156]),        # 对应第四条曲线
    np.poly1d([0, 0.00255, 36.37911])         # 对应第五条曲线
]

# 设置x的取值范围（根据实际需求调整区间和采样点数量）
x = np.linspace(0, 1000, 1000)

# 计算每个x点对应的所有曲线y值，取最大值得到上包络线
y_envelope = np.max([poly(x) for poly in polynomials], axis=0)

# 绘制结果
plt.figure(figsize=(10, 6))
# 绘制原始曲线
for idx, poly in enumerate(polynomials):
    plt.plot(x, poly(x), alpha=0.6, label=f"曲线{idx+1}")
# 绘制上包络线
plt.plot(x, y_envelope, color='blue', linewidth=2, label='覆盖所有曲线的上包络线')

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('多项式曲线及上包络线')
plt.legend()
plt.show()

补充说明 #

如果确实需要传统的点集凸包（将所有曲线上的采样点合并后计算凸包），可以使用scipy.spatial.ConvexHull：

from scipy.spatial import ConvexHull

# 采样所有曲线上的点
all_points = []
for poly in polynomials:
    y = poly(x)
    all_points.extend(np.column_stack((x, y)))
all_points = np.array(all_points)

# 计算凸包
hull = ConvexHull(all_points)

# 绘制凸包
plt.figure(figsize=(10,6))
plt.plot(all_points[:,0], all_points[:,1], 'o', alpha=0.3)
for simplex in hull.simplices:
    plt.plot(all_points[simplex, 0], all_points[simplex, 1], 'blue')
plt.show()

但这种方法生成的凸包会包含曲线下方的区域，对于“覆盖所有曲线”的需求，上包络线是更精准的选择。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者david