如何撰写ARIMA(0,1,1)(1,0,0)₁₂数学方程？SAS参数验证需求

模型结构拆解 #

ARIMA(0,1,1)(1,0,0)₁₂ 属于季节性差分自回归移动平均模型，各参数对应的模型特征：

• 非季节性部分：(0,1,1) → 无自回归项（p=0）、一阶非季节性差分（d=1）、一阶移动平均项（q=1）
• 季节性部分：(1,0,0)₁₂ → 一阶季节性自回归项（P=1）、无季节性差分（D=0）、无季节性移动平均项（Q=0），周期s=12

通用模型形式 #

先定义一阶非季节性差分序列：
∇Zₜ = Zₜ - Zₜ₋₁

用滞后算子表示的模型核心形式为：
(1 - Φ₁B¹²)∇Zₜ = (1 + θ₁B)εₜ
其中：

• B 为滞后算子（BZₜ = Zₜ₋₁，B¹²Zₜ = Zₜ₋₁₂）
• Φ₁ 是季节性AR(1)的系数
• θ₁ 是非季节性MA(1)的系数
• εₜ 为白噪声序列

展开为Zₜ的显式方程 #

将差分和滞后算子展开并整理：

(1 - Φ₁B¹²)(Zₜ - Zₜ₋₁) = εₜ + θ₁εₜ₋₁
Zₜ - Zₜ₋₁ - Φ₁Zₜ₋₁₂ + Φ₁Zₜ₋₁₃ = εₜ + θ₁εₜ₋₁

移项得到Zₜ的直接表达式：
Zₜ = Zₜ₋₁ + Φ₁Zₜ₋₁₂ - Φ₁Zₜ₋₁₃ + εₜ + θ₁εₜ₋₁

代入SAS估计的参数 #

根据你提供的SAS Studio估计结果，参数取值为：

• 季节性AR(1)系数 Φ₁ = 0.9722
• 非季节性MA(1)系数 θ₁ = -0.6071

代入后最终的Zₜ形式方程：
Zₜ = Zₜ₋₁ + 0.9722Zₜ₋₁₂ - 0.9722Zₜ₋₁₃ + εₜ - 0.6071εₜ₋₁

推导正确性验证 #

对比你之前的推导结果，需注意两个关键符号细节：

1. 季节性AR项展开后为-Φ₁Zₜ₋₁₂ + Φ₁Zₜ₋₁₃，对应滞后算子(1 - Φ₁B¹²)的展开规则
2. MA项因估计系数为负，代入后呈现-0.6071εₜ₋₁，符合(1 + θ₁B)的形式逻辑

如果你的推导符合上述规则，那么结果就是正确的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ferisca