使用numpy对角化酉矩阵未得到正交归一化特征向量的问题

核心原因 #

numpy.linalg.eig 对带有重特征值的酉矩阵进行对角化时，不会自动对同一特征值对应的特征向量做正交化处理。

酉矩阵的特征向量正交性仅保证不同特征值的特征向量相互正交；对于同一特征值的特征向量，它们属于同一个特征子空间，numpy 返回的只是该子空间的一组线性无关基，而非正交基——这就是你看到内积不为0的原因。

针对QFT矩阵的具体情况 #

4量子比特带交换操作的QFT矩阵是16×16酉矩阵，其特征值仅有4种：$\pm1$、$\pm i$，每种特征值的重数均为4。你选取的两个特征向量v_i和v_j属于同一个纯虚数特征值的特征子空间，因此numpy返回的原始向量未正交化，内积自然不为0。

你可以通过以下代码验证这两个特征值是否相等（考虑数值精度）：

print(np.isclose(eigvals[2], eigvals[-1]))

输出会是True，证实它们属于同一特征值的特征子空间。

解决方法 #

对同一特征值对应的特征向量组进行正交化处理即可，这里提供两种实现方式：

方式1：使用Gram-Schmidt正交化（借助scipy工具） #

import numpy as np
from scipy.linalg import orth
from qiskit.circuit.library import QFT
from qiskit.quantum_info import Operator

op = Operator(QFT(num_qubits=4, do_swaps=True)).data
eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(op)
eigvecs = eigvecs.T

# 按特征值分组，对每组特征向量做正交化
# 考虑数值精度，先对特征值做近似去重
unique_vals = np.unique(np.round(eigvals, 10))
ortho_eigvecs = {}

for val in unique_vals:
    # 筛选当前特征值对应的所有特征向量
    mask = np.isclose(eigvals, val)
    vec_group = eigvecs[mask].T  # 转置为列向量，适配orth函数
    ortho_group = orth(vec_group).T  # 正交化后转置回行向量形式
    ortho_eigvecs[val] = ortho_group

# 从正交化后的组中取向量验证
lambda_i = eigvals[2]
v_i_orth = ortho_eigvecs[lambda_i][0].reshape(-1,1)
v_j_orth = ortho_eigvecs[lambda_i][1].reshape(-1,1)

print(v_j_orth.T.conj() @ v_i_orth)  # 结果接近0，符合正交要求

方式2：使用Schur分解（直接得到正交向量） #

对于酉矩阵，Schur分解会直接返回正交的特征向量（Schur向量），无需额外正交化：

import numpy as np
from scipy.linalg import schur
from qiskit.circuit.library import QFT
from qiskit.quantum_info import Operator

op = Operator(QFT(num_qubits=4, do_swaps=True)).data
T, Z = schur(op, unitary=True)  # Z的列是正交的特征向量/ Schur向量
eigvals_schur = np.diag(T)

# 取第2和最后一个特征向量（对应原问题的索引）
v_i = Z[:,2].reshape(-1,1)
v_j = Z[:,-1].reshape(-1,1)

print(v_j.T.conj() @ v_i)  # 结果接近0

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Tristan Nemoz