R语言LearningStats包variance.CI与手动计算方差置信区间结果不一致问题

问题描述 #

给定正态总体样本：

x = c(15.6,14.8,14.4,16.6,13.8,14.0,17.3,17.4,18.6,16.2,14.7,15.7,16.4,13.9,14.8,17.5)

已知总体均值$\mu=15$，需计算总体方差的95%置信区间。手动计算与LearningStats包的variance.CI函数结果不一致，需验证正确性。

手动计算代码及结果 #

mu = 15
n = length(x)
alpha = 0.05                              # Alpha水平
S2mu = sum((x - mu)^2)/n                  # 已知总体均值时的方差估计量
x1 = qchisq(1 - alpha/2, df = n)   
x2 = qchisq(alpha/2, df = n)       
interval_var = c(n*S2mu/x1, n*S2mu/x2)    # 方差置信区间

计算结果：

interval_var = [1.430040, 5.971628]

LearningStats包计算结果 #

调用函数：

variance.CI(x, mu = mu, conf.level = 0.95)

输出：

S²μ: 6.64673 units²

           95% confidence interval for the variance of a Normal population with known mean

                                (nS²μ/χ²ₙ,₁₋α̸₂  ,  nS²μ/χ²ₙ,α̸₂)
 
                                       (3.68682 , 15.3956) units²

分析验证 #

1. 核心公式确认：当总体均值$\mu$已知时，构造的卡方统计量为：
   $$\frac{nS^{2_\mu}{\sigma}2} \sim \chi^2(n)$$
   其中$S^2_\mu = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^{2$，对应的总体方差$\sigma}2$的95%置信区间公式为：
   $$\left( \frac{nS^2_\mu}{\chi2_{n, 1-\alpha/2}}, \frac{nS^2_\mu}{\chi2_{n, \alpha/2}} \right)$$

2. 关键数值计算：

   • 样本量$n=16$，$\alpha=0.05$，查卡方分位数得：$\chi^{2_{16,0.975}=28.84537$，$\chi}2_{16,0.025}=6.90766$
   • 计算$\sum(x-\mu)^{2$：代入样本数据得总和为41.25，因此$S}2_\mu=41.25/16=2.578125$
   • 计算置信区间：
     • 下限：$41.25 / 28.84537 ≈1.4300$
     • 上限：$41.25 / 6.90766≈5.9716$

3. 包结果异常原因：
   包输出的$S^{2_\mu=6.64673$，对应$\sum(x-\mu)}2=6.64673×16=106.3476$，与实际样本计算的41.25不符。推测可能是以下原因之一：

   • 调用函数时样本数据或mu参数传入错误
   • LearningStats包的variance.CI函数在处理已知总体均值的场景时存在计算bug

结论 #

在给定样本和已知总体均值$\mu=15$的前提下，手动计算的方差95%置信区间[1.430040, 5.971628]是正确的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Little Jonny