为何n^log5与5^logn同阶？原以为5^logn阶数更高

我们可以通过对数的基本性质直接证明这两个表达式完全相等，自然属于同阶：

• 对两个表达式取任意底数的对数（比如自然对数ln）：
  • ln(n^log5) = log5 * ln(n)
  • ln(5^logn) = logn * ln(5)
• 根据对数的换底公式，log5 = ln5/ln10（若为常用对数），logn = lnn/ln10，代入后：
  • log5 * lnn = (ln5/ln10)*lnn
  • logn * ln5 = (lnn/ln10)*ln5
    显然这两个结果完全相同，因此ln(n^log5) = ln(5^{logn)，进而可得n}log5 = 5^logn。

既然两者是完全相等的函数，它们的增长阶自然完全一致，不存在谁阶数更高的情况。你提到的n² < 5ⁿ是另一组增长关系，和这两个表达式的等价性无关——这两个式子本质上是同一个函数，只是写法不同。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者shrekti