如何用Python解决含参数线性不等式组并可视化参数坐标系

先简化原不等式组 #

原不等式组：

αy ≥ x + y
βx ≥ x + y
x > 0, y > 0

因为x、y都是正数，直接对不等式变形简化：

• 第一个不等式两边除以y，得到 α ≥ 1 + x/y，令t = x/y（t>0），则条件变为 α ≥ 1 + t
• 第二个不等式两边除以x，得到 β ≥ 1 + y/x，也就是 β ≥ 1 + 1/t（t>0）

要存在正数t同时满足这两个式子，等价于：α>1、β>1，且(α-1)*(β-1)≥1。

代码实现 #

用numpy生成网格点，matplotlib绘制满足/不满足条件的点：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成α和β的采样范围，这里取0到5，各200个点
alpha = np.linspace(0, 5, 200)
beta = np.linspace(0, 5, 200)
# 生成二维网格点
alpha_grid, beta_grid = np.meshgrid(alpha, beta)

# 标记满足条件的点：α>1，β>1，且(α-1)(β-1)≥1
mask = (alpha_grid > 1) & (beta_grid > 1) & ((alpha_grid - 1) * (beta_grid - 1) >= 1)

# 绘图
plt.figure(figsize=(8, 8))
# 先画不满足条件的红色点
plt.scatter(alpha_grid[~mask], beta_grid[~mask], color='red', s=5, label='不满足条件')
# 再画满足条件的绿色点
plt.scatter(alpha_grid[mask], beta_grid[mask], color='green', s=5, label='满足条件')

# 添加辅助线和边界曲线
plt.axvline(x=1, color='gray', linestyle='--')
plt.axhline(y=1, color='gray', linestyle='--')
# 绘制(α-1)(β-1)=1的边界曲线
t = np.linspace(0.01, 4, 100)
plt.plot(1 + t, 1 + 1/t, color='black', label='边界：(α-1)(β-1)=1')

# 设置图表属性
plt.xlabel('α')
plt.ylabel('β')
plt.title('(α, β)坐标系中不等式组的满足区域')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.show()

代码说明 #

• 用meshgrid生成二维网格点，覆盖指定的α和β范围
• mask变量是布尔数组，标记每个网格点是否满足条件
• 先绘制红色不满足点，再绘制绿色满足点，避免颜色覆盖
• 添加灰色虚线α=1、β=1，以及黑色边界曲线，清晰展示区域划分

内容的提问来源于stack exchange，提问作者baring