求解含5个组件的系统中至少3个组件正常工作的概率

这是个典型的二项分布应用场景，每个组件的工作状态独立，正常工作概率为q，失败概率为1-q。要计算至少3个组件正常的概率，我们只需要把「恰好3个正常」「恰好4个正常」「恰好5个正常」这三种情况的概率加起来就行。

核心公式回顾 #

对于n次独立重复试验，恰好k次成功的二项分布概率公式是：
P(k) = C(n, k) * q^k * (1-q)^(n-k)
其中C(n, k)是组合数，表示从n个元素中选k个的组合数，计算方式为C(n,k) = n!/(k!*(n-k)!)

分步计算 #

我们的n=5，分别计算k=3、4、5的概率：

• 恰好3个组件正常的概率：
  C(5,3) = 10，所以概率是 10 * q³ * (1-q)²

• 恰好4个组件正常的概率：
  C(5,4) =5，所以概率是 5 * q⁴ * (1-q)

• 恰好5个组件正常的概率：
  C(5,5)=1，所以概率是 1 * q⁵ * (1-q)^0 = q⁵（因为任何数的0次方都是1）

合并结果 #

把三个概率相加，得到最终的至少3个组件正常的概率：
P(至少3个正常) = 10q³(1-q)² + 5q⁴(1-q) + q⁵

如果需要展开化简，可以进一步整理：

10q³(1-2q+q²) +5q⁴(1-q) +q⁵
= 10q³ -20q⁴ +10q⁵ +5q⁴ -5q⁵ +q⁵
= 10q³ -15q⁴ +6q⁵

也可以因式分解成：q³(10 -15q +6q²)，看哪种形式更符合你的需求~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者karla