在wxMaxima中求解指定三角方程的示例程序求助

对于给定的三角方程组，我们可以通过换元法简化求解过程，再利用wxMaxima的solve函数结合区间条件筛选出[0,2π]内的解，具体步骤如下：

步骤1：换元简化方程组 #

设 u = sin(X)，v = cos(Y)，原方程组转化为更易求解的二次方程组：

/* 定义换元后的方程 */
eq1: u + v = sqrt(3);
eq2: u * v = 3/4;

步骤2：求解二次方程组 #

用solve函数解换元后的方程组：

sol_uv: solve([eq1, eq2], [u, v]);

执行后会得到唯一解：u = sqrt(3)/2，v = sqrt(3)/2（展开(u+v)^2=3并代入uv=3/4，可推导出u=v）。

步骤3：求解X的取值（区间[0,2π]） #

将u = sqrt(3)/2代入sin(X)=u，同时添加区间约束筛选有效解：

sol_X: solve([sin(X) = sqrt(3)/2, X >= 0, X <= 2*%pi], X);

得到X的解：X = %pi/3 和 X = 2*%pi/3。

步骤4：求解Y的取值（区间[0,2π]） #

将v = sqrt(3)/2代入cos(Y)=v，添加区间约束：

sol_Y: solve([cos(Y) = sqrt(3)/2, Y >= 0, Y <= 2*%pi], Y);

得到Y的解：Y = %pi/6 和 Y = 11*%pi/6。

完整可运行代码 #

把上述步骤整合为完整的wxMaxima脚本，可直接运行得到所有解组合：

/* 换元简化方程组 */
u: sin(X);
v: cos(Y);
eq1: u + v = sqrt(3);
eq2: u * v = 3/4;

/* 求解换元后的二次方程组 */
sol_uv: solve([eq1, eq2], [u, v]);

/* 提取解并求解X */
u_val: rhs(sol_uv[1][1]);
sol_X: solve([sin(X) = u_val, X >= 0, X <= 2*%pi], X);

/* 提取解并求解Y */
v_val: rhs(sol_uv[1][2]);
sol_Y: solve([cos(Y) = v_val, Y >= 0, Y <= 2*%pi], Y);

/* 输出所有解组合 */
print("X的有效解：", sol_X);
print("Y的有效解：", sol_Y);
print("原方程组在[0,2π]内的解组合：");
for x in sol_X do (
    for y in sol_Y do (
        print("(", rhs(x), ", ", rhs(y), ")")
    )
);

运行后会输出4组有效解：

• (%pi/3, %pi/6)
• (%pi/3, 11*%pi/6)
• (2*%pi/3, %pi/6)
• (2*%pi/3, 11*%pi/6)

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Burak Sadikoglu