R语言手动实现AR1模型与ARIMA(pdq(1,0,0))输出不一致问题

核心差异来自三点：模型设定、估计方法、样本范围 #

1. 模型形式的本质区别 #

fable里的ARIMA(sales ~ pdq(1,0,0))用的是带均值修正的AR(1)模型，公式是：
[ y_t = \mu + \phi(y_{t-1} - \mu) + \epsilon_t ]
展开后等价于：
[ y_t = \mu(1-\phi) + \phi y_{t-1} + \epsilon_t ]

而你手动用lm(sales ~ lag1_sales)拟合的是无均值修正的线性回归形式：
[ y_t = \beta_0 + \beta_1 y_{t-1} + \epsilon_t ]

两者看似相似，但ARIMA会单独估计序列均值(\mu)，而非直接将均值合并到截距项中，这导致参数估计的底层逻辑完全不同。

2. 参数估计方法的差异 #

• fable的ARIMA采用最大似然估计（MLE）：基于序列服从正态分布的假设，最大化所有样本的似然值求解参数，会考虑时间序列的自相关特性。
• 手动LM拟合采用普通最小二乘（OLS）：仅最小化残差平方和，未考虑时间序列的序列相关性，且OLS对AR模型的参数估计在小样本下存在偏差——尤其当自相关系数绝对值较大时，偏差会更显著。

3. 样本使用范围的不同 #

手动构建lag1_sales时，第一个观测值因无法生成滞后项会被自动丢弃，LM模型的样本量比ARIMA少1个。而fable的ARIMA通过状态空间模型处理初始观测值，会用到全部样本，样本量的差异也会导致参数和预测结果出现偏差。

验证方法 #

可以通过以下步骤确认差异来源：

• 用report(arima_model)查看ARIMA估计的(\mu)和(\phi)，代入展开式计算预测值，看是否能与LM的逻辑对应。
• 给LM添加均值修正：拟合lm(sales ~ I(lag1_sales - mean(sales)))，对比系数与ARIMA的(\phi)是否接近。
• 统一样本范围：给LM的第一个缺失滞后项填充序列均值，重新拟合后观察结果是否更靠近ARIMA的输出。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者hachiko