几何级数：已知和、首项与末项求公比及项数

推导过程 #

先明确几何级数的两个核心公式（公比(r≠1)）：

• 末项与首项的关系：(a_n = a_0 \cdot r^n)（这里的(n)是首项到末项的间隔数，比如总项数为9时，(n=8)）
• 级数和公式：(S = a_0 \cdot \frac{r^{n+1} - 1}{r - 1})

第一步：求公比(r)

把(a_n = a_0 r^{n)变形为(r}n = \frac{a_n}{a_0})，代入和公式：
[
S = a_0 \cdot \frac{r \cdot \frac{a_n}{a_0} - 1}{r - 1} = \frac{a_n r - a_0}{r - 1}
]
整理等式求解(r)：
[
S(r - 1) = a_n r - a_0 \
Sr - S = a_n r - a_0 \
r(S - a_n) = S - a_0 \
r = \frac{S - a_0}{S - a_n}
]

第二步：求间隔数(n)

将求得的(r)代入末项公式，变形后用对数求解(n)：
[
r^n = \frac{a_n}{a_0} \
n = \frac{\ln\left(\frac{a_n}{a_0}\right)}{\ln(r)}
]
总项数即为(n + 1)，对应你例子中的总项数9，就是(n=8)的情况。

示例验证 #

假设总项数9，(a_0=1)，(r≈1.404)，可算出末项(a_8=1 \cdot 1.404^{8≈15.1)，级数和(S=\frac{1.404}9 -1}{1.404-1}≈50)。用反向公式验证：

• 公比：(r=\frac{50-1}{50-15.1}=\frac{49}{34.9}≈1.404)，与设定一致
• 间隔数：(n=\frac{\ln(15.1/1)}{\ln(1.404)}≈\frac{2.715}{0.338}≈8)，总项数(8+1=9)，和例子匹配。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Pontis