解析GLSL基于距离场绘制多边形的函数原理

先看目标代码：

float theta = atan(pos.x, pos.y);
float rotate_angle = 2 * PI / N;
float d = cos(floor(0.5 + theta / rotate_angle) * rotate_angle - theta) * length(pos);

问题拆解与解答 #

1. theta / rotate_angle 的意义 #

theta是当前点pos相对于原点的极角（从x轴正方向逆时针旋转的角度），rotate_angle = 2π/N是把整个圆周N等分后，每份的角度（也就是N边形相邻两个顶点与原点连线的夹角）。

这个除法的作用是把极角转换成“等分区间的相对位置”：比如N=4（正方形）时，rotate_angle=π/2，若theta=π/4，计算结果是0.5，说明这个角度在第0和第1个等分区间的中间；若theta=3π/4，结果是1.5，说明在第1和第2个区间中间。这个值的整数部分是当前角度所在的区间序号，小数部分是在区间内的占比。

2. 0.5的由来与floor(0.5 + 比值)的作用 #

我们的目标是找到离当前theta最近的那个N边形顶点的极角，本质是把theta归到最近的等分线角度上。

拿正方形举例，等分线角度是0、π/2、π、3π/2：

• 当theta在(0, π/4)（区间前半段）时，theta/rotate_angle < 0.5，加0.5后小于1，floor取整结果为0，对应极角0；
• 当theta在(π/4, π/2)（区间后半段）时，theta/rotate_angle > 0.5，加0.5后大于1，floor取整结果为1，对应极角π/2；

这里的0.5就是区间中点的阈值，加0.5后再取整，相当于实现了“四舍五入”的效果，能把每个区间内的角度自动归到离它最近的等分线（顶点极角）上。如果不加0.5，直接取整会把整个区间的角度都归到左边界，无法实现“找最近顶点”的需求。

3. 为什么alpha等于这个表达式 #

floor(0.5 + theta / rotate_angle) * rotate_angle 计算出的就是离当前theta最近的N边形顶点的极角，用这个值减去theta，得到的就是当前点极角与最近顶点极角的差值——也就是你说的alpha，它是当前点到原点的连线，和最近的多边形“对称轴”（顶点与原点的连线）之间的夹角。

后续用cos(alpha) * length(pos)把当前点到原点的距离投影到这条对称轴上，对比投影长度和多边形外接圆半径的大小，就能判断点是否在多边形内部。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者DrinkPractical9526