如何验证三次贝塞尔曲线中点处的dy/dx梯度为1/7

参数曲线的梯度满足 dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)（只要dx/dt≠0），核心是算出t=0.5处的dy/dt和dx/dt，再求比值即可验证。以下是具体步骤：

1. 确定参数化的x(t)和y(t)表达式 #

三次参数曲线的x、y分量都是t的三次多项式。假设这四个点是三次贝塞尔曲线的控制点（对应t∈[0,1]，t=0对应(1,1)，t=1对应(6,1)，中间两点对应t=1/3、t=2/3），贝塞尔曲线的参数方程为：

x(t) = (1-t)³x₀ + 3(1-t)²t x₁ + 3(1-t)t²x₂ + t³x₃
y(t) = (1-t)³y₀ + 3(1-t)²t y₁ + 3(1-t)t²y₂ + t³y₃

代入控制点P₀(1,1)、P₁(2,3)、P₂(4,4)、P₃(6,1)，展开合并同类项后得到：

• x(t) = -t³ + 3t² + 3t + 1
• y(t) = -3t³ - 3t² + 6t + 1

2. 求导得到dx/dt和dy/dt #

对x(t)、y(t)分别求导：

• dx/dt = -3t² + 6t + 3
• dy/dt = -9t² - 6t + 6

3. 代入t=0.5计算比值 #

把t=0.5代入两个导数：

• dx/dt = -3*(0.5)² + 6*(0.5) + 3 = 5.25 = 21/4
• dy/dt = -9*(0.5)² -6*(0.5) +6 = 0.75 = 3/4

计算比值：dy/dx = (3/4) ÷ (21/4) = 1/7，和需要验证的结果一致。

补充说明 #

如果你的参数化方式不是贝塞尔曲线（比如拉格朗日插值），只需先根据四个点求出x(t)和y(t)的三次多项式，再重复上述求导、代入计算的步骤，最终梯度结果会保持一致——因为梯度是曲线的几何属性，和参数化的具体形式无关（只要参数化是正则的，即dx/dt≠0）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者mukul bhardwaj