为自定义二项分布MLE，求Google JAX中二项式系数的替代实现方案

针对你在JAX里实现二项分布MLE时遇到的二项式系数缺失问题，这里有几个实用的替代方案，尤其是结合MLE的实际需求，有些方案可以简化你的实现：

1. 优先用对数形式计算（最适合MLE场景） #

因为二项分布的MLE通常基于对数似然，直接计算对数二项式系数不仅能避免大n时的数值溢出，还能完美适配似然函数的计算逻辑。JAX提供了jax.scipy.special.loggamma函数，利用gamma函数与阶乘的关系（$\Gamma(n+1)=n!$），可以通过以下公式计算对数二项式系数：
$$\log \binom{n}{k} = \log\Gamma(n+1) - \log\Gamma(k+1) - \log\Gamma(n-k+1)$$

代码实现：

import jax
import jax.numpy as jnp
from jax.scipy.special import loggamma

def log_binom(n, k):
    return loggamma(n + 1) - loggamma(k + 1) - loggamma(n - k + 1)

# 如果确实需要原始二项式系数值，取指数即可
def binom(n, k):
    return jnp.exp(log_binom(n, k))

2. 递推法计算（适合小n场景） #

如果n的取值较小，也可以利用组合数的递推公式$\binom{n}{k} = \binom{n}{k-1} \times \frac{n-k+1}{k}$，结合JAX的lax.scan实现可追踪的循环计算：

import jax
import jax.numpy as jnp

def binom_recursive(n, k):
    # 利用组合数对称性C(n,k)=C(n,n-k)，减少循环次数
    k = jnp.minimum(k, n - k)
    # 用scan实现递推
    def step(carry, i):
        return carry * (n - i + 1) / i, None
    result, _ = jax.lax.scan(step, jnp.array(1.0), jnp.arange(1, k+1))
    return result

3. 简化MLE计算：直接忽略二项式系数 #

注意：在二项分布的MLE求解中，二项式系数$\binom{n}{k}$是与待估计参数p无关的常数项。最大化似然函数（或对数似然函数）时，常数项不会影响极值点的位置，因此你完全可以跳过二项式系数的计算，直接对对数似然的核心部分求导：
$$\log \mathcal{L}(p) \propto k\log p + (n-k)\log(1-p)$$

直接基于这部分求导找极值，得到MLE的解$\hat{p} = \frac{k}{n}$，这样既省去了二项式系数的实现，又能得到正确的结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ruSTAm