时间复杂度渐近符号中的常数是否必须为整数？含n! = ω(2ⁿ)证明问题

一、渐近符号中常数c是否必须为整数？ #

已知大O定义：若(f(n) = O(g(n)))，则存在常数(c > 0)和(n_0 \geq 1)，使得对所有(n \geq n_0)，有(0 \leq f(n) \leq cg(n))。同理Ω、Θ符号的定义也涉及类似常数。

结论：常数c不需要是整数，仅要求是正实数即可。

解释：

• 渐近符号的核心是描述函数的增长量级关系，而非限定整数倍数。只要能找到任意正实数c和对应的(n_0)满足不等式条件，就符合符号定义。
• 举例：(f(n) = 0.5n)显然属于(O(n))，取(c=0.5)（非整数）、(n_0=1)即可满足(0 \leq 0.5n \leq 0.5n)，完全符合大O定义。
• 该结论同样适用于Ω和Θ符号：它们的常数都只要求是正实数，无需为整数。

二、证明(n! = \omega(2^n))，并分析相关常数与临界值 #

ω符号的定义 #

(f(n) = \omega(g(n)))的定义是：对于任意给定的常数(c > 0)，存在(n_0 \geq 1)，使得对所有(n \geq n_0)，有(f(n) > c \cdot g(n))。

证明过程 #

要证明(n! = \omega(2^n))，即证：对任意(c > 0)，存在(n_0)，当(n \geq n_0)时，(n! > c \cdot 2^n)。

展开两个函数：
[
n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n
]
[
2^n = \underbrace{2 \times 2 \times \dots \times 2}_{n个2}
]

当(n \geq 4)时，将(n!)拆分为前3项与后续项的乘积：
[
n! = 6 \times 4 \times 5 \times \dots \times n
]
对于(k \geq 4)，(k > 2)，因此(\prod_{k=4}^n k > 2^{n-3})，代入得：
[
n! > 6 \times 2^{n-3} = 0.75 \times 2^n
]

对于任意给定的(c > 0)，我们总能找到足够大的(n_0)满足条件：

• 利用斯特林公式辅助理解：(n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^{n)，显然(\left(\frac{n}{e}\right)}n)的增长速度远快于(2^{n)（因为(\frac{n}{e})随n增大趋向无穷），必然会超过任意常数倍数的(2}n)。
• 具体取值：比如当(c=10)时，取(n_0=7)（(7!=5040 > 10 \times 128=1280)）；当(c=100)时，取(n_0=9)（(9!=362880 > 100 \times 512=51200)）。

关于(n! = c_1 \cdot 2^n)的说明 #

需要明确：(n! = \omega(2^{n))意味着(n!)的增长速度**严格快于任意常数倍数的(2}n)**，因此不存在固定的常数(c_1)使得对所有(n \geq n_0)有(n! = c_1 \cdot 2^n)（等式不成立，而是严格大于任意(c \cdot 2^n)）。

如果针对某个特定n求(c_1)，则(c_1 = \frac{n!}{2^n})，但这是随n增大趋向无穷的变量，而非固定常数。根据ω符号的要求，对于任意给定的(c_1 > 0)，我们都能找到对应的(n_0)，使得当(n \geq n_0)时，(n! > c_1 \cdot 2^n)。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sarraayush