高斯函数与非对称高斯函数卷积结果峰值位置异常问题咨询

我对高斯函数与非对称高斯函数执行卷积运算，实现代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x=np.linspace(0,5,500)
dx=x[1]-x[0]

# Gaussian
sigma1=0.1
peak1=1
gauss1=np.exp(-(x-peak1)**2/(2*sigma1**2))

# Asymmetric Gaussian
gauss2=0.5*np.exp(-(x-1.5)**2/(-0.2+x*0.4)**2)

# convolution
conv=np.convolve(gauss1,gauss2,mode='same')*dx

plt.plot(x,gauss1,label='Gaussian')
plt.plot(x,gauss2,label='Asymmetric Gaussian')
plt.plot(x,conv,label='Convolution')
plt.xlim(0,5)
plt.legend()
plt.show()

已得到卷积结果图像，但无法理解结果曲线的位置，原本认为它的峰值应该处于两个原始曲线的峰值位置之间，这是为什么？

原因解析 #

1. 误解了卷积峰值的位置规律：两个函数卷积的峰值位置不是原函数峰值的中间，而是原函数峰值位置的和（当函数定义在整个实数域时）。
   卷积的数学定义为：$(f*g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau)d\tau$，当$t = a + b$（$a$是$f(x)$的峰值位置，$b$是$g(x)$的峰值位置）时，$\tau = a$，$t-\tau = b$，此时两个函数同时取到各自的峰值，乘积达到最大值，积分结果也对应卷积的峰值。

2. 对应你的具体案例：

   • gauss1的峰值在$x=1$，gauss2的峰值在$x=1.5$，按照规律卷积的峰值应出现在$1+1.5=2.5$附近，这和你得到的结果完全一致。

3. 非对称高斯的影响：你的gauss2是右拖尾的非对称高斯（$x>1.5$区域衰减更慢），这会让卷积曲线在峰值右侧的拖尾更长，但这不会改变峰值位置的核心逻辑——峰值位置由两个原函数峰值的和决定。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者freja