如何推导关联X、Y与gridSize的菱形网格Grid3索引公式？

现有两个5×5菱形网格（gridSize=5），分别对应Y值（Grid1）和X值（Grid2），需要推导关联X、Y和gridSize的公式，得到目标网格Grid3的连续索引值。

已知网格数据 #

Grid1（对应Y值） #

0
   1 1
  2 2 2
 3 3 3 3
4 4 4 4 4
 5 5 5 5
  6 6 6
   7 7
    8

Grid2（对应X值） #

0
   0 1
  0 1 2
 0 1 2 3
0 1 2 3 4
 0 1 2 3
  0 1 2
   0 1
    0 

目标Grid3（索引值） #

00
      01  02
    03  04  05
  06  07  08  09
10  11  12  13  14
  15  16  17  18 
    19  20  21
     22   23
        24

公式推导 #

首先明确几个基础规律：

• 菱形网格的总行数为 2*gridSize - 1（如gridSize=5时共9行）
• 每行的元素数量：当Y < gridSize时，元素数为Y+1；当Y >= gridSize时，元素数为2*gridSize - Y -1
• 总索引范围为0 ~ gridSize² -1（如gridSize=5时共25个索引，0到24）

分情况计算索引 #

根据Y值所在的区域，分两种情况推导公式：

情况1：0 ≤ Y < gridSize（上半部分含中间行）

此区域内，第Y行的起始索引为前Y行所有元素的总和（前0行总和为0，前1行总和为1，以此类推），公式为：

起始索引 = Y * (Y + 1) / 2

最终索引为起始索引加上当前行的X值：

Grid3索引 = Y*(Y+1)/2 + X

验证（gridSize=5）：

• Y=0，X=0：0*(0+1)/2 +0=0，符合Grid3的00
• Y=4，X=3：4*(4+1)/2 +3=10+3=13，符合Grid3的13

情况2：gridSize ≤ Y ≤ 2*gridSize -2（下半部分）

先计算offset = Y - gridSize（表示Y距离中间行下方的偏移量），前gridSize行（上半部分含中间行）的总元素数为gridSize*(gridSize+1)/2，再加上偏移区域内的元素总和，得到当前行的起始索引：

起始索引 = [gridSize*(gridSize+1) + offset*(2*gridSize -1 - offset)] / 2

最终索引为起始索引加上当前行的X值：

Grid3索引 = [gridSize*(gridSize+1) + offset*(2*gridSize -1 - offset)]/2 + X

其中offset = Y - gridSize

验证（gridSize=5）：

• Y=5，offset=0，X=2：[5*6 +0*(10-1-0)]/2 +2=15+2=17，符合Grid3的17
• Y=7，offset=2，X=1：[5*6 +2*(10-1-2)]/2 +1=(30+14)/2 +1=22+1=23，符合Grid3的23

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Kavin-K