为何用中心差分法计算Lipschitz 1/2范数得到错误值？

核心问题1：定义域边界导致的数值异常 #

你的代码计算出异常值1.4142e+04，直接原因是定义域包含了x=1：
当x=1时，x+1e-8=1.00000001，此时1-x=-1e-8，超出了函数sqrt(1-x)的有效定义域（要求非负），MATLAB会计算出复数结果，最终导致导数计算出现极大的异常值。

核心问题2：Lipschitz 1/2范数的定义混淆 #

你将Lipschitz 1/2范数定义为“导数绝对值的最大值”，这是错误的：

• 普通Lipschitz常数（指数1）的定义才是导数绝对值的最大值，但对于函数f(x)=2*sqrt(1-x)，其导数为f’(x)=-1/sqrt(1-x)，当x趋近于1时，导数绝对值趋向无穷大，因此普通Lipschitz常数不存在（为无穷大）。
• 你所说的理论值2，实际是Hölder 1/2连续常数，它的定义是满足|f(x)-f(y)| ≤ C|x-y|^(1/2)的最小C，对于该函数，通过推导可得C=2。

修正方案 #

方案1：修正定义域，避免边界异常 #

如果只是想验证导数的变化（注意此时导数最大值仍趋向无穷），可以调整定义域，排除x=1附近的点：

% 定义函数
f = @(x) 2*sqrt(1-x);

% 调整定义域，不包含x=1，留出足够的计算余量
x = linspace(0, 1-1e-7, 1000);

% 中心差分计算导数
df = (f(x+1e-8) - f(x-1e-8)) / (2*1e-8);

% 计算导数绝对值的最大值
lipschitz_norm = max(abs(df));

方案2：正确计算Hölder 1/2连续常数 #

如果你的目标是得到理论值2，需要按照Hölder连续的定义来计算，而非导数最大值。可以通过遍历定义域内的点对，近似验证：

f = @(x) 2*sqrt(1-x);
x = linspace(0, 1, 1000);
C_max = 0;

for i = 1:length(x)
    for j = 1:length(x)
        if x(i) ~= x(j)
            diff_f = abs(f(x(i)) - f(x(j)));
            diff_x = abs(x(i) - x(j))^0.5;
            C = diff_f / diff_x;
            if C > C_max
                C_max = C;
            end
        end
    end
end

disp(['近似Hölder 1/2常数：', num2str(C_max)]);

运行后会得到接近2的结果（受采样点数量影响）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者J. Ross