二进制向量模2循环卷积：NTT简化可行性及与FFT对比咨询

问题1：存储位宽与模2特性的简化空间 #

• 存储位宽：不需要强制用32位整数，但32位是最优选择。比如选N=3×10^{7+1，这个数小于2}25，用32位整数完全能容纳所有中间计算值，且32位整数在常规CPU上运算效率最高，没必要刻意用更小位宽的存储。
• 模2特性的简化：绝对可以利用，甚至能直接换更合适的算法：
  • 别死磕NTT，**快速沃尔什变换（FWHT）**才是处理二进制向量模2卷积的最优方案。它不需要找大素数、原根这些复杂数论参数，实现逻辑简单，每一步都是位运算或加减模2操作，完全适配你的需求。
  • 若一定要坚持用NTT，中途不能随便模2——NTT的正确性依赖模N的运算结构，中途模2会破坏变换的数学逻辑，只能在逆变换得到最终卷积值后，再对每个分量取模2。但这种做法完全浪费了模2特性带来的简化空间，没必要。

问题2：NTT与知名FFT库的性价比对比 #

如果放弃模2特性的优化，硬用NTT和成熟FFT库（比如FFTW）对比：

• 精度上NTT碾压：NTT是纯整数运算，完全没有舍入误差，这在n≈10^7的场景下是FFT做不到的——FFT的浮点舍入误差会直接导致模2后的结果完全错误。
• 性能上FFT库占优：成熟FFT库经过了指令集（AVX/AVX2）、缓存优化等极致打磨，性能远超普通开发者实现的NTT。除非你能做到专业级的底层优化，否则NTT的运行速度会慢于FFT库。
• 性价比结论：如果核心需求是保证结果绝对正确，NTT是唯一可靠的选择；但结合问题1的结论，最优解是用FWHT，既比NTT简单，又比FFT精度可靠，资源消耗还更低。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Adomas Baliuka