如何由定义平行四边形的三个向量推导其互补平行四边形？

有一套射线与平行四边形相交的检测算法，原本声称适用于任意平行四边形，但实际因采用垂直投影判定参数范围的逻辑，仅对特定平行四边形有效。不过每个选定顶点的平行四边形，都存在一个互补平行四边形——原平行四边形覆盖的区域，恰好是该算法判定为互补平行四边形外部的区域，反之亦然。比如选钝角菱形的一个钝角顶点，算法判定的“内部”区域会形成一个以该点为锐角顶点的菱形，这就是原菱形的互补平行四边形。

推导步骤 #

假设原平行四边形由以下三个向量定义：

• 顶点位置向量：P
• 从该顶点出发的两条邻边向量：u、v

互补平行四边形的顶点仍为P，其两条邻边向量可通过向量点积运算推导：

• 第一条邻边向量：u' = u - ((u · v) / (v · v)) * v
• 第二条邻边向量：v' = v - ((u · v) / (u · u)) * u

其中a · b代表向量a与向量b的点积计算。

推导逻辑 #

原算法的核心是将待判定点垂直投影到u、v所在直线，得到参数s = (Q-P)·u/(u·u)和t = (Q-P)·v/(v·v)，仅当s和t都在[0,1]区间内时，判定点在“平行四边形内”。这个判定对应的区域就是互补平行四边形，上述公式正是基于该投影的几何约束推导得出的邻边向量。

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