如何生成PCA用2D随机数据集？矩阵乘法线性关系原理解析

先还原你提供的代码片段：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

rng = np.random.RandomState(1)
X = np.dot(rng.rand(2, 2), rng.randn(2, 200)).T

plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1])
plt.axis('equal')
plt.show()

下面拆解这个过程，解释为什么会得到线性相关的数据集：

• 两个核心矩阵的作用

  • rng.rand(2,2)：这是一个2×2的随机矩阵，本质是一个线性变换算子，可以理解为对二维点做「旋转+拉伸」的组合操作。
  • rng.randn(2,200)：这是2行200列的标准正态随机矩阵，每一列是一个二维随机点，这些原始点在平面上完全分散，两个维度没有线性关联（因为randn生成的两个维度相互独立）。

• 矩阵相乘的本质是线性变换
  两个矩阵相乘时，相当于用2×2的变换矩阵，对randn生成的200个二维点逐个做线性变换：
  假设变换矩阵是$\begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$，原始点是$\begin{bmatrix} x_i \ y_i \end{bmatrix}$，变换后的点就是$\begin{bmatrix} a x_i + b y_i \ c x_i + d y_i \end{bmatrix}$。

• 为什么会呈现线性关系
  原始随机点的两个维度独立无关联，但经过线性变换后，新的两个维度（$a x_i + b y_i$和$c x_i + d y_i$）之间天然存在由变换矩阵元素决定的线性依赖关系。反映在散点图上，所有点会沿着变换矩阵特征向量指向的方向分布，呈现出明显的线性趋势——相当于原本无规律的点被“规整”到了一个倾斜的带状区域里，看起来就有了线性关联。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者KodeWarrior