带二元运算符的数字集合表达式排列及去重算法问询

这确实是个挺有意思的表达式生成+去重问题，既要覆盖所有合法的带括号组合，又要干掉冗余括号和交换律带来的重复项，我来拆解下可行的思路和具体实现方案：

冗余括号说白了就是那种不改变运算顺序的多余括号，比如(((2*3))+5)和(2*3)+5完全是一个意思，括号纯属多余。最省心的方式不是生成所有可能的括号再过滤，而是在生成表达式的时候就只加必要的括号。

具体怎么判断要不要加括号？咱们先给运算符定个优先级：比如*、/优先级设为2，+、-设为1。然后递归生成的时候，遵循这个规则：

• 如果当前外层运算符的优先级 高于 子表达式的根运算符，子表达式不用加括号；
• 如果外层运算符优先级和子表达式根运算符相同，要看结合性：比如+、*是左结合，a+b+c等价于(a+b)+c，所以a+(b+c)里的括号其实是冗余的，咱们可以强制只生成左结合的形式，避免重复；而像-这种非交换左结合的，a-(b-c)和(a-b)-c完全不同，这时候b-c就必须加括号。

举个实际例子：

• 生成2 * (3 + 5)：因为+优先级比*低，所以3+5必须套括号；
• 生成2*3 +5：2*3的根运算符是*，优先级比+高，直接写2*3+5就行，根本不用搞((2*3)+5)这种花里胡哨的。

这样从生成阶段就把冗余括号掐死了，省了事后过滤的麻烦。

像a+b和b+a、(a+b)*c和c*(a+b)这种因为交换律产生的重复表达式，咱们可以给每个表达式生成一个唯一的规范键，用集合存起来，遇到重复的键就直接跳过，不生成重复表达式。

规范键怎么生成？ #

咱们搞个递归的规则：

1. 单个数字的规范键就是它的字符串，比如"2"、"3"；
2. 对于表达式L op R：
   • 如果op是交换律的（+、*）：先拿到L和R的规范键，然后把两个键按字典序排序，再拼上运算符，比如2+3的规范键是"2+3"，3+2的规范键也是"2+3"，这样就标记成同一个表达式了；
   • 如果op是非交换律的（-、/）：直接按L的键+运算符+R的键生成，比如2-3的键是"2-3"，3-2是"3-2"，这俩是不同的表达式，保留各自的键。

生成时的去重逻辑 #

递归生成的时候，咱们维护一个集合（比如Python里的set），每次生成新表达式前先算它的规范键，如果键已经在集合里了，就跳过；要是没见过，就把键加进集合，然后生成对应的表达式字符串。

比如：

• 当你尝试生成3+2的时候，算出来规范键是"2+3"，发现已经在集合里（之前生成2+3的时候加过了），直接跳过，不生成这个重复项；
• 生成5*(2+3)的时候，规范键是"2+3*5"，和(2+3)*5的键一样，也直接跳过。

把上面的逻辑串起来，完整的步骤大概是这样：

1. 输入：给一组数字（比如[2,3,5]）和一组二元运算符（比如['+','*']）；
2. 写个递归函数：比如叫generate(nums)，返回所有去重后的表达式（每个表达式要包含字符串、规范键、根运算符，根运算符用来判断括号）；
3. 递归终止条件：如果数字列表只有一个元素，就返回这个数字的表达式信息，比如[{"expr": "2", "key": "2", "root_op": None}]；
4. 拆分数字列表：遍历所有可能的拆分点，把当前数字列表拆成左右两个子列表，比如[2,3,5]可以拆成[2]和[3,5]，或者[2,3]和[5]；
5. 生成子表达式：递归调用generate生成左右子列表的所有表达式；
6. 组合表达式：遍历每个左表达式、右表达式、运算符：
   a. 先算当前表达式的规范键，按之前的规则来；
   b. 检查规范键是否在集合里，在的话直接跳过；
   c. 判断左右表达式要不要加括号：比如左表达式的根运算符优先级比当前运算符低，就给左表达式套括号；右表达式同理，还要考虑结合性；
   d. 把左右表达式（加不加括号看情况）和运算符拼起来，记录根运算符，加入结果列表；
7. 返回结果：最后返回所有符合要求的表达式列表。

如果还想干掉结合律带来的重复，比如2+(3+5)和(2+3)+5，可以再优化规范键的生成：对于+、*这种结合律的运算符，把所有子表达式的规范键按字典序排序后拼接，比如2+3+5的规范键就是"2+3+5"，不管括号怎么加，键都是一样的，这样就能避免生成这类重复表达式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者delphinarum