SAGE中实对称矩阵可对角化性检查返回错误结果的问题

核心问题 #

你定义矩阵时用了QQ（有理数域），SAGE的is_diagonalizable()方法默认是在矩阵所属的域上判断是否可对角化，而非实数域。

你的矩阵虽是实对称矩阵（实数域上必然可对角化），但它的特征值不全是有理数：计算可得特征值为(1+√2)/2、(1-√2)/2、1/2、1/2。这些特征值包含无理数，因此在有理数域上找不到足够的线性无关特征向量完成对角化，方法返回False。

解决方法 #

将矩阵定义在实数域RR上，或显式指定在实数域上判断对角化：

方法1：直接在实数域定义矩阵 #

from sage.all_cmdline import *   # import sage library

A = matrix(RR, [[1/2, 1/2, 0, 0],
                [1/2, 0, 1/2, 0],
                [0, 1/2, 0, 1/2],
                [0, 0, 1/2, 1/2]])

print(A.is_diagonalizable())

运行后输出True，符合实对称矩阵的理论结论。

方法2：在有理数域定义矩阵，指定在实数域判断对角化 #

from sage.all_cmdline import *   # import sage library

A = matrix(QQ, [[1/2, 1/2, 0, 0],
                [1/2, 0, 1/2, 0],
                [0, 1/2, 0, 1/2],
                [0, 0, 1/2, 1/2]])

# 指定在实数域RR上判断是否可对角化
print(A.is_diagonalizable(RR))

同样会输出True。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者caffeinemachine