在R中使用uniroot求解指数函数根得到错误结果的原因咨询

我有一个指数函数：

f = function(x){
  exp(3*x)+4*exp(2*x)-3*exp(x)
}

该函数的唯一实根被认为是$\sqrt{7}-2$（约0.6457513），但在R中执行以下代码求解根时：

uniroot(f, lower = -3, upper = 3)$root
[1] -0.4373415

得到的结果并非预期值，请问出现该问题的原因是什么？

• 根的概念混淆
  原函数可通过换元简化：令$y=e^x$（$y>0$，指数函数值域恒正），函数转化为：
  $$y^3 + 4y^2 - 3y = y(y^2 + 4y - 3)$$
  解方程$y(y^2 + 4y - 3)=0$，因$y>0$，仅需解二次方程$y^2 + 4y - 3=0$，得正根为$y=-2+\sqrt{7}\approx0.6457513$——这是换元后$y$的根，而非$x$的根。对应的x的实根是$x=\ln(y)=\ln(-2+\sqrt{7})\approx-0.4373415$，和uniroot计算的结果完全一致。

• uniroot的工作逻辑
  R的uniroot函数要求输入区间[lower, upper]内，函数两端点取值符号相反（即$f(lower)*f(upper)<0$），它会在该区间内寻找函数值为0的点。计算你的函数在区间端点的值：

  • $f(-3)=e^{-9}+4e{-6}-3e^{-3}\approx-0.143$（负值）
  • $f(3)=e^9+4e6-3e^3\approx9670$（正值）
    区间内存在符号变化，uniroot找到的是该区间内唯一的实根，也就是正确的x的实根。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Homer Jay Simpson