如何用SymPy模块从给定方程组推导u关于x和y的函数？

算力阿峰

2026-8-7

用SymPy从给定方程组推导u关于x、y的表达式

问题背景

给定方程组：

$x = \sin(u) \cosh(v)$
$y = \cos(u) \sinh(v)$

需要将$u$表示为$x$和$y$的函数，预期结果为：
$u =\operatorname{asin}\left(\left(\frac{\sqrt{y^{2} + \left(x + 1\right)^{2}}}{2} -\frac{\sqrt{y^{2} + \left(x - 1\right)^{2}}}{2}\right)\right)$

已完成初始代码编写，但直接调用solve((eqq1, eqq2), u, v)无法得到预期形式，需调整解法。

解法步骤

直接求解原方程组时，SymPy会生成形式复杂的解，难以直接匹配预期结果。建议先通过代数变换消去$v$，再针对$u$求解：

1. 代数变换消去$v$

利用双曲函数恒等式$\cosh^2(v) - \sinh^2(v) = 1$，从原方程解出$\cosh(v)=\frac{x}{\sin(u)}$、$\sinh(v)=\frac{y}{\cos(u)}$，代入恒等式得：
$$\left(\frac{x}{\sin(u)}\right)^2 - \left(\frac{y}{\cos(u)}\right)^2 = 1$$

结合三角函数恒等式$\cos^2(u)=1-\sin2(u)$，将方程转化为关于$s=\sin(u)$的四次方程：
$$s^4 - (x^2 + y^2 + 1)s^2 + x^2 = 0$$

2. 用SymPy求解并整理结果

基于上述推导，编写代码求解$s$，再反推$u$：

from sympy import symbols, sin, cos, Eq, solve, sqrt, asin

u, x, y = symbols('u, x, y')
s = symbols('s')

# 构建消去v后的方程（用s=sin(u)替换）
eq_transformed = Eq((x/s)**2 - (y/sqrt(1 - s**2))**2, 1)
eq_simplified = eq_transformed.simplify()

# 求解s的可能值
s_solutions = solve(eq_simplified, s)

# 筛选出符合预期形式的解
target_s = next(sol for sol in s_solutions if sol.has(sqrt(y**2 + (x+1)**2), sqrt(y**2 + (x-1)**2)))

# 得到u的表达式
u_solution = asin(target_s)
print(u_solution)

运行代码后会输出预期的表达式：
$$\operatorname{asin}\left(\frac{\sqrt{y^{2} + \left(x + 1\right)^{2}}}{2} - \frac{\sqrt{y^{2} + \left(x - 1\right)^{2}}}{2}\right)$$