使用泵引理证明语言非正则时的证明有效性疑问

正则语言的泵引理有个关键前提你没注意到：它只对长度≥泵长度P的字符串生效。

泵引理的核心规则 #

若语言L是正则的，那么存在一个固定的泵长度P，满足：

所有长度≥P的字符串s∈L，都能拆分成s=xyz的形式，同时满足：

1. |xy| ≤ P
2. |y| ≥ 1（y不能为空）
3. 对任意k≥0，xyᵏz 都属于L

你的证明问题所在 #

你选的字符串012长度为3，而如果假设A是正则的，它的泵长度P完全可以大于3（比如P=4）。这时候012是长度小于P的字符串，泵引理根本不对这类字符串做任何约束——哪怕它无法被泵分，也不违反泵引理的结论，自然无法推翻“A是正则的”这个假设。

正确的证明思路 #

要证明A非正则，你需要选取长度≥P的字符串来推导矛盾，比如取s=0^P 1^P 2^P：

• 根据泵引理的|xy| ≤ P，xy必然全由0组成，且y至少包含一个0；
• 当泵出k=2时，得到字符串xy²z=0^(P+|y|)1^P2^P，此时0的数量明显多于1和2的数量，不在A中；
• 这与泵引理的第三条规则矛盾，因此A不可能是正则语言。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mr Bones