如何高效计算两个矩阵各列向量间所有外积的总和？

你要的运算完全可以通过矩阵求和+外积的方式实现，不需要嵌套循环，效率会比循环实现高得多，尤其是当矩阵维度较大时。

数学推导 #

假设A是p×n矩阵，B是p×m矩阵，它们的列向量分别为$a_1,a_2,...,a_n$和$b_1,b_2,...,b_m$（均为p×1列向量）。所有列向量对的外积之和可以利用加法分配律简化为：
$$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_i b_j^T = \left(\sum_{i=1}^n a_i\right) \left(\sum_{j=1}^m b_j\right)^T$$
本质是先分别求出A、B所有列向量的和，再对这两个和向量做一次外积运算。

实现代码（以MATLAB为例） #

针对你的示例矩阵：

A = [1,2,3; 3,1,4; 4,1,3];
B = [2,1,3; 4,1,2; 3,2,1];

% 对A、B按列求和，得到列向量
sum_A = sum(A, 2);
sum_B = sum(B, 2);

% 计算外积，得到最终结果U
U = sum_A * sum_B';

注意事项 #

你提供的示例代码中，A[:,n]'*B[:,m]是行向量×列向量，得到的是标量，这属于内积运算，和你描述的“外积”需求不符。如果确实要计算外积（得到矩阵），应该写成A[:,n] * B[:,m]'，而上面的求和外积方法，正好对应修正后的循环逻辑。

效率对比 #

循环实现的时间复杂度是$O(nmp^2)$，而这个方法的时间复杂度是$O(p*(n+m))$，矩阵维度越大，效率差距越明显。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user48826