为何使用lm函数的固定效应回归未剔除时间不变变量？

个体固定效应回归本应剔除时间不变变量（这类变量会被个体固定效应吸收），但使用plm函数时符合预期，lm函数却未剔除该类变量，原因可从两者的实现机制差异解释：

模拟数据与回归代码 #

首先是生成的面板数据代码：

X = rnorm(9,0,1)
Y = 2*X
df <- data.frame(
  X,
  Y,
  Z = c(1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0),
  id = c(1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3),
  t = c(1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3)
)

用plm执行双向固定效应回归：

plmfit <- plm(Y~X+Z, index = c("id", "t"), effect = "twoways", model = "within", data = df)
summary(plmfit)

输出未报告时间不变变量Z，符合预期。

用lm执行包含个体/时间虚拟变量的回归：

lmfit <- lm(Y~X+Z+factor(id)+factor(t),data=df)
summary(lmfit)

输出中时间不变变量Z未被剔除，需解释这一现象。

核心原因：两者实现固定效应的机制不同 #

• plm的within模式：本质是对每个个体的所有变量做组内去均值变换——用变量的每个观测值减去该个体的变量均值。时间不变变量Z在同一个体的所有时间点取值相同，去均值后所有观测值都会变成0，因此回归时会被自动剔除，不会出现在结果中。

• lm的虚拟变量模式：通过factor(id)直接引入个体虚拟变量，此时Z与个体虚拟变量存在完全多重共线性（比如你的数据中Z=1仅对应id=1，和id=1的虚拟变量取值完全一致）。但R的lm函数默认不会主动剔除共线性变量，它会保留所有输入变量，仅将无法识别的系数标记为NA。你可以查看lmfit的结果，会发现Z或某个个体虚拟变量的系数为NA，这就是多重共线性导致的系数不可估计，只是lm没有像plm那样直接剔除变量。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Leonardo19