如何将SVD输出重排为与输入对角块对应的形式

研究背景 #

我需要对M个规模可能不同的独立问题执行SVD（奇异值分解）。待分解的数据集（矩阵）规模为N_M⨯2，其中每个问题的N_M各不相同，且∀M, N_M > 2。

可行方案 #

• 一种直观方法是通过可并行化的循环，将每个数据集单独输入SVD并分别处理结果。
• 另一种方案是将不同数据集排列为可能稀疏的对角块矩阵，仅调用一次SVD，实现计算向量化并仅处理一组输出。本文重点关注该方案。

问题描述 #

常见的SVD实现（如MATLAB和Numpy中的版本）会根据奇异值S的大小对U和V矩阵的列/行进行排序。这种自动排序对对角块矩阵场景不利，会导致奇异值/向量与生成它们的块之间的关联丢失。例如：

%% 定义待分解矩阵:
A = [1, 1, 2; 
     2, 1, 3];
B = [1, 2;
     2, 1];
M = blkdiag(A,B);
%{
M =
     1     1     2     0     0
     2     1     3     0     0
     0     0     0     1     2
     0     0     0     2     1
%}
%% 执行SVD
[Ua, Sa, Va] = svd(A, 'econ');
[Ub, Sb, Vb] = svd(B, 'econ');
[Um, Sm, Vm] = svd(M, 'econ');

%{
Ua =                   #  Ub =                  #  Um =
   -0.5449   -0.8385   #     -0.7071   -0.7071  #     -0.5449         0         0   -0.8385
   -0.8385    0.5449   #     -0.7071    0.7071  #     -0.8385         0         0    0.5449
                       #                        #           0   -0.7071    0.7071         0
                       #                        #           0   -0.7071   -0.7071         0
                       #                        #  
Sa =                   #  Sb =                  #  Sm =
    4.4552         0   #    3.0000         0    #      4.4552         0         0         0
         0    0.3888   #           0    1.0000  #           0    3.0000         0         0
                       #                        #           0         0    1.0000         0
                       #                        #           0         0         0    0.3888
                       #                        #
Va =                   #  Vb =                  #  Vm =
   -0.4987    0.6465   #     -0.7071    0.7071  #     -0.4987         0         0    0.6465
   -0.3105   -0.7551   #     -0.7071   -0.7071  #     -0.3105         0         0   -0.7551
   -0.8092   -0.1087   #                        #     -0.8092         0         0   -0.1087
                       #                        #           0   -0.7071   -0.7071         0
                       #                        #           0   -0.7071    0.7071         0
%}

可以看到Um、Sm和Vm的值分别与{Ua, Ub}、{Sa, Sb}和{Va, Vb}一致，但来自A的值在M的分解结果中并未被分组在一起。

那么，**如何重排（“还原排序”）Um、Sm和Vm使其与输入块对应？**重排后的预期结果为：

% 若M = blkdiag(A, B)，我们期望（符号不确定性除外）：
Um == blkdiag(Ua, Ub);
Sm == blkdiag(Sa, Sb);
Vm == blkdiag(Va, Vb);

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dev-iL