如何将3D透视畸变的二次多项式像素坐标转换为标准公式？

可行性结论 #

完全可行，核心依据是射影变换（透视属于射影变换）不会改变代数曲线的次数——原平面的二次曲线经过透视投影后，在图像中仍然是二次曲线，因此可以通过逆变换或针对性拟合还原出原二次多项式。

两种实操路径 #

路径1：先校正透视畸变，再做多项式拟合

• 步骤1：求解透视变换矩阵
  已知原曲线与x轴的两个交点对应图像中的首尾像素点，若能额外获取原平面上的1-2个参考点（比如原x轴上的第三个标记点、原二次曲线的顶点像素），即可通过这些对应点计算出从图像平面到原平面的3x3齐次透视变换矩阵H。
• 步骤2：逆变换还原真实坐标
  将所有扭曲的像素坐标通过矩阵H的逆变换，转换为原平面的真实坐标(X,Y)。
• 步骤3：二次多项式回归
  对还原后的(X,Y)点集做二次多项式回归，直接得到目标公式Y = aX² + bX + c。

路径2：直接利用射影几何性质拟合原曲线

• 原平面的二次曲线在透视变换下，会映射为图像中的二次曲线，其齐次方程形式为：A x'² + B x'y' + C y'² + D x' + E y' + F = 0（其中(x',y')是图像像素坐标）。
• 用图像中的点集拟合出这个图像二次曲线的参数A-F。
• 结合透视变换的逆变换，将图像二次曲线的方程转换为原平面中Y关于X的函数形式，整理后得到标准二次多项式。

关于交比与灭点的作用 #

• 交比：用于确定透视变换中的长度比例关系，比如原x轴上的点在图像中的交比与原平面的交比相等，可通过这个性质计算原x轴上点的真实坐标，辅助求解透视变换矩阵。
• 灭点：可快速定位原平面坐标轴在图像中的消失方向，用来约束透视变换的参数，减少计算时的未知数数量，提升求解效率。

多项式回归的注意事项 #

直接对图像中的扭曲点做二次回归，得到的是图像平面内的二次曲线，而非原平面的目标公式。必须先完成透视校正，再对还原后的真实坐标做回归，才能得到正确的结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Vincent