整数线性规划（ILP）：能否设置变量统计取值为N的变量数量？

完全可以实现，具体构造方式如下：

假设我们有一组有界整数变量 $x_1, x_2, ..., x_k$，每个变量的取值范围是 $[1, U]$（$U$ 为变量上界，题目已说明 $N \geq 1$），我们需要定义一个变量 $y$，使其等于这组变量中取值为 $N$ 的数量。

1. 引入辅助0-1变量：对每个 $x_i$，定义0-1变量 $z_i$，其中 $z_i=1$ 当且仅当 $x_i=N$，否则 $z_i=0$。
2. 添加约束绑定 $z_i$ 和 $x_i$：
   • 约束1：x_i ≤ N + (U - N)*(1 - z_i)
     当 $z_i=1$ 时，约束简化为 $x_i ≤ N$；当 $z_i=0$ 时，约束变为 $x_i ≤ U$，完全符合原变量的上界限制。
   • 约束2：x_i ≥ N - (N - 1)*(1 - z_i)
     当 $z_i=1$ 时，约束简化为 $x_i ≥ N$；当 $z_i=0$ 时，约束变为 $x_i ≥ 1$，匹配原变量的下界要求。
3. 定义统计变量 $y$：
   添加约束 y = z_1 + z_2 + ... + z_k，此时 $y$ 的取值就是所有 $x_i$ 中等于 $N$ 的变量总数。

这些约束都是线性的，且所有变量（包括辅助0-1变量）都符合整数线性规划的变量类型要求，因此完全可以在ILP模型中实现。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者BladesV