如何使用Python的scipy.curve_fit获取高斯拟合的质量？

以下是几种常用的拟合质量评估方法，直接基于curve_fit的输出和原始数据计算：

1. 决定系数（R²） #

R²衡量拟合模型对数据变异的解释程度，取值范围0到1，越接近1说明拟合效果越好。

计算步骤：

• 用拟合得到的参数生成拟合值y_fit
• 计算总平方和（TSS）：观测值与均值的偏差平方和
• 计算残差平方和（RSS）：观测值与拟合值的偏差平方和
• R² = 1 - (RSS / TSS)

示例代码：

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit

# 定义高斯函数
def gaussian(x, amp, mean, std):
    return amp * np.exp(-(x - mean)**2 / (2 * std**2))

# 原始数据示例
x_data = np.linspace(-5, 5, 100)
y_data = gaussian(x_data, 3, 0, 1) + np.random.normal(0, 0.2, 100)

# 执行拟合
params, cov = curve_fit(gaussian, x_data, y_data)
y_fit = gaussian(x_data, *params)

# 计算R²
y_mean = np.mean(y_data)
tss = np.sum((y_data - y_mean)**2)
rss = np.sum((y_data - y_fit)**2)
r_squared = 1 - (rss / tss)
print(f"R²值: {r_squared:.4f}")

2. 残差分析 #

残差是y_data - y_fit，通过观察残差的分布可以判断拟合是否合理：

• 残差应随机分布在0附近，无明显趋势（如递增、递减、周期性）
• 残差的方差应大致均匀

示例代码（绘制残差图）：

import matplotlib.pyplot as plt

residuals = y_data - y_fit
plt.scatter(x_data, residuals)
plt.axhline(y=0, color='r', linestyle='--')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Residuals')
plt.title('Residual Plot')
plt.show()

3. 卡方（χ²）检验 #

如果你的数据带有测量误差（即每个数据点的标准差sigma已知），可以计算卡方值：
χ² = Σ[(y_obs - y_fit)² / sigma²]

拟合良好时，χ²值应接近自由度（自由度=数据点数量-拟合参数数量），或者χ²/自由度接近1。

示例代码：

# 假设每个数据点的测量标准差已知
sigma = np.full_like(y_data, 0.2)
chi_squared = np.sum((y_data - y_fit)**2 / sigma**2)
degrees_of_freedom = len(y_data) - len(params)
chi_squared_per_dof = chi_squared / degrees_of_freedom
print(f"χ²值: {chi_squared:.4f}, χ²/自由度: {chi_squared_per_dof:.4f}")

4. 均方根误差（RMSE） #

RMSE衡量拟合值与观测值之间的平均偏差，数值越小说明拟合精度越高。

计算代码：

rmse = np.sqrt(np.mean((y_data - y_fit)**2))
print(f"RMSE值: {rmse:.4f}")

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Captain Nikon