IEEE-754单精度表示的最大绝对误差与相对误差求解

归一化浮点数的基本表示 #

IEEE-754单精度归一化浮点数的结构为：

• 符号位：1bit（0表示正，1表示负）
• 指数位：8bit（偏移量为127，实际指数值 = 指数位二进制值 - 127，范围是-126到+127）
• 尾数位：23bit（隐含最高位的1，因此尾数实际表示为 1.f，其中f是23bit的二进制小数）

对应的数值公式为：
value = (-1)^sign × (1 + significand) × 2^(exponent)

最大绝对误差 #

绝对误差是真实值与浮点数表示值的差值的绝对值，其最大值取决于舍入方式和数值的量级：

1. 默认就近舍入（Round to Nearest, Ties to Even）
   相邻两个归一化浮点数的间距为 2^(e-23)（其中e是当前数的实际指数值），因为尾数最低位的权重是2^-23，乘以2^e后得到间距。
   就近舍入的最大误差是间距的一半，即：
   max_absolute_error = 2^(e-24)
   例如，当指数e=0时（数值范围在[1,2)），最大绝对误差为2^-24 ≈ 5.96e-8。

2. 截断舍入（向0舍入）
   若直接舍去尾数后的所有额外位，最大误差等于相邻浮点数的间距，即：
   max_absolute_error = 2^(e-23)
   此时当e=0时，最大绝对误差为2^-23 ≈ 1.19e-7。

注意：绝对误差与数值的指数e正相关，数值越大，绝对误差越大。

最大相对误差 #

相对误差是绝对误差与真实值绝对值的比值，公式为：
relative_error = |真实值 - 表示值| / |真实值|

就近舍入下的最大相对误差 #

对于归一化浮点数，真实值x满足 2^e ≤ |x| < 2^(e+1)，结合就近舍入的最大绝对误差2^(e-24)，可得：
max_relative_error ≤ 2^(e-24) / 2^e = 2^-24 ≈ 5.96e-8
这个值是固定的，与指数e无关，因为绝对误差和真实值的量级同比例变化。

截断舍入下的最大相对误差 #

若采用截断舍入，最大绝对误差为2^(e-23)，真实值最小为2^e，因此：
max_relative_error ≤ 2^(e-23) / 2^e = 2^-23 ≈ 1.19e-7

对您疑问的解答 #

1. 关于无穷等比数列求和得到2^-23
   这个结果对应的是截断舍入的最大误差：当真实值的尾数部分在23位之后全为1时，截断后丢失的数值是2^-24 + 2^-25 + ...，这是首项为2^-24、公比为1/2的无穷等比数列，求和结果为2^-23，这是截断舍入下的最大绝对误差（针对e=0的情况）。但IEEE-754默认采用就近舍入，此时最大误差是这个值的一半。

2. 相对误差公式的正确性
   您提到的((真实值-给定值)/真实值)×100是相对误差的百分比形式，公式本身是正确的，但需要注意取绝对值（误差是绝对值），且通常我们关注的是相对误差的上限，而非具体某个数的误差。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者MathIsFun