如何利用scipy.optimize.curve_fit输出的协方差矩阵计算R平方？

关键前提 #

scipy.optimize.curve_fit输出的协方差矩阵无法直接计算R平方。协方差矩阵仅用于评估拟合参数的不确定性（比如参数的标准差），而R平方是衡量模型拟合优度的指标，计算依赖原始数据和拟合值，与协方差矩阵无关。

R平方的计算方法 #

R平方的核心公式为：

R² = 1 - (残差平方和 / 总平方和)
其中：

• 残差平方和（SS_res）：真实值与拟合值的差的平方和
• 总平方和（SS_tot）：真实值与自身均值的差的平方和

具体实现代码 #

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit

# 定义自定义拟合函数
def fit_func(x, a, b, c):
    return a * np.exp(-b * x) + c

# 准备数据（示例）
x_data = np.linspace(0, 5, 50)
y_true = 3 * np.exp(-0.5 * x_data) + 1
y_data = y_true + np.random.normal(0, 0.2, size=x_data.shape)

# 执行曲线拟合
params, cov_matrix = curve_fit(fit_func, x_data, y_data)

# 计算拟合值
y_fit = fit_func(x_data, *params)

# 计算R平方
ss_res = np.sum((y_data - y_fit) ** 2)
ss_tot = np.sum((y_data - np.mean(y_data)) ** 2)
r_squared = 1 - (ss_res / ss_tot)

print(f"拟合的R平方值: {r_squared:.4f}")

协方差矩阵的用途（补充） #

协方差矩阵的对角元素对应各拟合参数的方差，取平方根可得到参数的标准差，用于判断参数的可靠性：

param_std_errors = np.sqrt(np.diag(cov_matrix))
print(f"各参数的标准差: {param_std_errors}")

内容的提问来源于stack exchange，提问作者enoquoley