如何高效生成大参数下的Bates分布随机数？

Bates分布定义为n个独立[0,1]均匀分布随机变量的均值，等价于Irwin-Hall分布（n个均匀变量的和）除以n。针对n极大（如10000000）的场景，直接生成n个均匀变量再取均值的方法内存开销巨大、耗时极长，以下是两种可行的优化方案：

1. 正态近似法（推荐，超高效） #

当n足够大时，根据中心极限定理，Bates分布会近似服从正态分布，参数为：

• 均值：$\mu = 0.5$
• 方差：$\sigma^2 = \frac{1}{12n}$

直接用正态分布生成样本即可，n越大，近似效果越好。Python代码示例：

import numpy as np

m = 10000
n = 10000000

mu = 0.5
sigma = np.sqrt(1 / (12 * n))
bates_random_numbers = np.random.normal(mu, sigma, size=m)

这种方法时间复杂度为O(m)，完全不依赖n的大小，彻底避开了生成海量均匀变量的开销。

2. 精确生成方案（仅需严格精确性时考虑） #

如果必须生成严格符合Bates分布的样本，可先生成Irwin-Hall分布的随机数（n个均匀变量的和），再除以n。但n极大时，Irwin-Hall分布本身已趋近于正态分布，近似法的精度完全满足绝大多数场景需求；且针对n=1e7这种量级，即使是Irwin-Hall的高效生成方法也难以匹敌正态近似的效率。

原代码的小优化（仅适用于小n场景） #

若处理的n不算极端大，可通过numpy向量化操作替代列表推导提升原代码效率：

a = np.random.uniform(0, 1, size=(m, n))
bates_random_numbers = a.mean(axis=1)

但该方法在n=1e7时会直接耗尽内存（需存储1e11个浮点数），仅适合小n场景。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者shaun