语言B是否可表示为正则表达式？质疑教授给出的表达式正确性

语言定义与教授给出的正则表达式 #

给定语言：

B = { aⁱbⁱc²ᵐ | i ≥ 0, m ≥ 0 } ∪ { aʳbˢc²ᵗ | r ≥ 4, s ≥ 4, t ≥ 0}

教授给出的正则表达式：
a⁴a* b⁴b* (c²)* + (ε + ab + a²b² + a³b³)(c²)*

核心问题与解答 #

1. 教授的正则表达式是否正确？ #

答案是否定的：

• 左半部分a⁴a* b⁴b* (c²)*确实对应B中{ aʳbˢc²ᵗ | r ≥ 4, s ≥ 4, t ≥ 0}的部分，这部分是正确的——r≥4等价于a⁴a*，s≥4等价于b⁴b*，c的个数为偶数对应(c²)*。
• 右半部分(ε + ab + a²b² + a³b³)(c²)*只能生成i=0、1、2、3的aⁱbⁱ串，完全覆盖不了i≥4的情况（比如a⁴b⁴c²、a⁵b⁵这类字符串），但B的前半部分允许i取任意非负整数，包括i≥4，所以这部分无法生成前半子语言的所有字符串。

综上，教授给出的正则表达式不正确。

2. 语言B是否正则？你的判断是否正确？ #

你的判断完全正确，语言B不是正则语言，自然不存在对应的正则表达式，理由如下：

• 前半子语言{ aⁱbⁱc²ᵐ | i ≥ 0, m ≥ 0 }：可以看作{aⁱbⁱ | i≥0}和{c²ᵐ | m≥0}的连接。其中{aⁱbⁱ | i≥0}是经典的非正则上下文无关语言——有限自动机没有记忆能力，没法记录a的数量来匹配对应的b的数量，只能用下推自动机（PDA）或上下文无关文法描述。而正则语言和非正则上下文无关语言的连接结果，仍然是非正则的上下文无关语言。
• 后半子语言{ aʳbˢc²ᵗ | r ≥ 4, s ≥ 4, t ≥ 0}是正则语言，因为a、b、c的数量之间没有依赖关系，各自的约束都能用正则规则描述。
• 根据上下文无关语言的性质：非正则上下文无关语言与正则语言的并集，结果还是非正则的上下文无关语言。所以语言B整体不可能是正则语言，也就不存在对应的正则表达式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者RipLearning