为何浮点数精确相等比较在黄金比例计算中始终有效？

我们常被教导不要对浮点数进行精确相等比较，但下面这个接收任意正数、返回黄金比例的函数，却用了double类型的精确相等判断，而且始终有效：

public static double f(double x) {
    double y;
    while ((y = 1 + 1 / x) != x)
        x = (x + y) / 2;
    return x;
}

@Test
void test() {
    assertEquals((1 + sqrt(5)) / 2, f(1.0));  // 测试通过！
}

原本以为只有部分输入能生效，但用JQwik做属性测试后，所有正输入都能通过：

@Property
void test2(@ForAll @Positive double x) {
    assertEquals((1 + sqrt(5)) / 2, f(x));  // 全部通过！
}

为什么这个循环里从未出现浮点数差值极小、无法触发精确相等的情况？

核心原因解析 #

1. 黄金比例的浮点数特性
   真实的黄金比例φ满足数学等式：φ = 1 + 1/φ（等价于φ² = φ + 1）。而double是64位固定精度的浮点数，它对φ的近似值记为φ₀。当迭代收敛到φ₀时，在double的运算规则下，计算1 + 1/φ₀的结果会恰好等于φ₀——浮点数运算的舍入规则会让这个计算结果对齐到φ₀，而非产生一个接近但不等的值。

2. 迭代过程的单调收敛性
   无论初始输入的正x是大于还是小于φ：

• 如果x > φ，那么y = 1 + 1/x必然小于φ，两者的平均值(x+y)/2会比原x更靠近φ；
• 如果x < φ，那么y = 1 + 1/x必然大于φ，平均值同样会向φ靠拢。
  这种单调收敛的特性，会让迭代快速逼近φ₀，不会出现来回震荡或无限逼近却达不到相等的情况。

3. 有限步数内必然收敛
   double的精度约为15-17位有效数字，这个迭代过程只需要几步就能收敛到满足y == x的φ₀，不会陷入无限循环，也不会停留在差值极小但不等的状态。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者k314159