坐标轴翻转或变换时如何求解相机旋转矩阵

结论 #

是的，新坐标系下的相机旋转矩阵$R'=PR$，完整的新外参矩阵就是$P[R|t]$（其中$[R|t]$是原3×4相机外参矩阵）。

推导过程 #

先明确符号定义：

• $W$：原始世界坐标系，$C$：相机坐标系
• 原相机外参$[R|t]$的定义：相机坐标系下的点$p_C$转换到世界坐标系$p_W$的公式为：
  $$p_W = R p_C + t$$
  其中$R$是3×3旋转矩阵（表示相机坐标系到世界坐标系的旋转），$t$是3×1向量（表示相机原点在世界坐标系中的位置）。
• 置换矩阵$P$：表示原始世界坐标系$W$到新坐标系$W'$的坐标变换，即任意点在$W$下的坐标$p_W$，转换到$W'$下的坐标$p_{W'}$满足：
  $$p_{W'} = P p_W$$

我们需要找到新坐标系$W'$下的相机外参$[R'|t']$，即满足：
$$p_{W'} = R' p_C + t'$$

将$p_W = R p_C + t$代入$p_{W'} = P p_W$，可得：
$$p_{W'} = P(R p_C + t) = (PR) p_C + Pt$$

对比$p_{W'} = R' p_C + t'$，直接对应得到：

• 新旋转矩阵：$R' = PR$
• 新平移向量：$t' = Pt$

因此，新的3×4外参矩阵就是$P$与原外参矩阵$[R|t]$的乘积，即$P[R|t]$。

置换矩阵的直观解释 #

以你给出的P为例：

import numpy as np
P = np.array([
    [1, 0, 0],
    [0, 0, 1],
    [0, -1, 0]
])

这个矩阵的每一列对应新坐标系$W'$的轴在原世界坐标系$W$中的方向：

• 第1列$[1,0,0]^T$：$W'$的x轴与$W$的x轴一致
• 第2列$[0,0,1]^T$：$W'$的y轴对应$W$的z轴
• 第3列$[0,-1,0]^T$：$W'$的z轴对应$W$的-y轴

原旋转矩阵$R$的每一列是相机各轴在$W$中的方向，经过$P$变换后，$PR$的每一列就变成了相机各轴在$W'$中的方向，这正好是新旋转矩阵$R'$的定义，进一步验证了结论的正确性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者H. Kwak