Scala Cats-Laws中函子复合律为何与标准定义存在差异？

首先明确结论：Cats-laws中的版本是正确的，你的翻译版本存在概念混淆。

1. 数学定义的正确映射 #

函子复合律的标准数学表述是：F(g∘f) = F(g)∘F(f)，其中：

• f: A→B，g: B→C是集合范畴中的态射（函数）
• F(f): F[A]→F[B]是函子F作用在f上得到的态射（即Scala中的map(f)，它是一个从F[A]到F[B]的函数）
• ∘表示态射的复合：F(g)∘F(f)的含义是“先应用F(f)，再应用F(g)”

对应到Scala的具体值操作上：

• F(g)∘F(f)作用于fa: F[A]，就是F(g)(F(f)(fa))，也就是先对fa调用map(f)得到F[B]，再对这个结果调用map(g)，即fa.map(f).map(g)
• F(g∘f)作用于fa，就是fa.map(f.andThen(g))（因为f.andThen(g)就是g∘f的Scala写法）

这正是Cats-laws中实现的逻辑，完全贴合数学定义。

2. 你的版本错误原因 #

你写的fa.map(f).andThen(fa.map(g))存在两个关键问题：

• fa.map(f)的结果是F[B]类型的值，而不是函数，Scala中普通函子的F[B]并没有andThen方法（andThen是函数类型A=>B的方法）
• 即便强行假设这里的andThen是函数复合，fa.map(g)是F[A]→F[C]的函数，和fa.map(f)（F[A]→F[B]）的类型也无法复合，逻辑上完全不成立

你混淆了“函子作用在态射上的复合”和“对函子值的操作”，才会写出这个错误版本。

3. Haskell版本的贴合度 #

Haskell中函子复合律的定义是：fmap (g . f) = fmap g . fmap f

• 这里的.是Haskell的函数复合运算符，fmap g . fmap f表示“先执行fmap f，再执行fmap g”
• 对应到值的操作就是fmap g (fmap f fa)，和Scala中fa.map(f).map(g)完全等价，因此Haskell的实现和Cats一样，都是严格贴合标准数学定义的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者tribbloid