如何在Python中基于足球角球数据集计算负二项分布

首先验证你的数据集确实存在过度离散：
数据集[7,8,7,12,14,9,6,15,5]的均值约为9.22，样本方差约为12.94，方差大于均值，符合负二项分布的适用场景。以下是三种可行的拟合方法：

1. 矩估计手动计算参数 #

负二项分布有两种常用参数化方式，可通过均值和方差直接推导：

• 参数化方式A（对应scipy的nbinom）：
  设均值为μ，方差为σ²，则参数p=μ/σ²，n=μ²/(σ²-μ)
  代入你的数据：p≈9.22/12.94≈0.712，n≈9.22²/(12.94-9.22)≈22.85
• 参数化方式B（均值+离散度）：
  离散参数α=(σ²-μ)/μ²，代入得α≈(12.94-9.22)/9.22²≈0.0438

得到参数后，即可用负二项分布的概率质量函数计算任意角球数的概率。

2. scipy.stats稳定拟合参数 #

你遇到的拟合参数不稳定问题，是因为小样本下最大似然估计的初始值敏感，固定位置参数并指定矩估计结果为初始值即可解决：

import numpy as np
from scipy import stats

corners = np.array([7,8,7,12,14,9,6,15,5])
mu = np.mean(corners)
var = np.var(corners, ddof=1)  # 样本方差

# 矩估计得到初始参数
init_n = mu**2 / (var - mu)
init_p = mu / var

# 固定loc=0（角球数非负），传入初始值拟合
n_fit, p_fit, _ = stats.nbinom.fit(corners, loc=0, p0=[init_n, init_p])

# 示例：计算角球数为7的概率
prob_7 = stats.nbinom.pmf(7, n_fit, p_fit)
print(f"角球数为7的概率：{prob_7:.4f}")

3. statsmodels正确拟合（解决报错） #

你遇到的ValueError是因为GLM需要传入设计矩阵（即使无其他变量，也要构造常数项矩阵），以下两种方式均可：

方式3.1 使用专门的NegativeBinomial模型 #

import numpy as np
import statsmodels.api as sm

corners = np.array([7,8,7,12,14,9,6,15,5])
# 构造常数项设计矩阵
X = sm.add_constant(np.ones_like(corners))

model = sm.NegativeBinomial(corners, X)
result = model.fit()
print(result.summary())

# 提取参数并转换为scipy兼容格式
mu_est = np.exp(result.params[0])
alpha_est = result.params[1]
n_scipy = 1 / alpha_est
p_scipy = n_scipy / (n_scipy + mu_est)

方式3.2 使用GLM配合负二项Family #

import numpy as np
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.genmod.families import NegativeBinomial
from statsmodels.genmod.families.links import log

corners = np.array([7,8,7,12,14,9,6,15,5])
X = sm.add_constant(np.ones_like(corners))

model = sm.GLM(corners, X, family=NegativeBinomial(link=log()))
result = model.fit()
print(result.summary())

# 提取参数
mu_est = np.exp(result.params[0])
alpha_est = result.scale

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Niccolò Simoni