请求验证函数增长阶排序结果，重点确认F1/F2、F6/F4的关系

按增长阶从小到大排序以下函数：
F1(n) = n^(n/2)
F2(n) = (n/2)^n
F3(n) = (log n)^(log n)
F4(n) = 8^(log n)
F5(n) = n^(4/3)
F6(n) = n^3 - n^2
F7(n) = 2^(log n)^2
F8(n) = n log n

你给出的排序结果：F8 < F5 < F6 ~ F4 < F3 < F7 < F1 ~ F2
（注：f(n) < g(n)表示f(n) = o(g(n))，f(n) ~ g(n)表示f(n) = Θ(g(n))）

核心结论 #

整体排序框架基本正确，但F1与F2并非同阶增长，正确的完整排序应为：F8 < F5 < F6 ~ F4 < F3 < F7 < F1 < F2

关键验证细节 #

• F6与F4的关系：你的判断完全正确
  化简过程合法：F4(n) = 8^(log n) = n^log8 = n^3（无论log以2、e还是10为底，指数均为常数，故F4 ∈ Θ(n^3)）；F6(n) = n^3 - n^2，显然n^3 - n^2与n^3同阶，因此F6 ~ F4成立。

• F1与F2的关系：原结论错误，F2增长远快于F1
  通过取对数对比增长速度：

  • log(F1(n)) = (n/2)logn
  • log(F2(n)) = n log(n/2) = n(logn - log2)
    当n→∞时，n(logn - log2)是(n/2)logn的2倍量级，且两者差值(n/2)logn - n log2趋于无穷，说明F2(n)的增长速度远快于F1(n)，即F1 = o(F2)，二者并非同阶。

• 其余函数排序验证：全部正确

  1. F8(n)=n logn：属于线性对数增长，是o(n^(4/3))（因为n^(4/3)/(n logn) = n^(1/3)/logn → ∞），故F8 < F5成立。
  2. F5(n)=n^(4/3)：多项式增长阶低于n^3，故F5 < F6 ~ F4成立。
  3. F3(n)=(logn)^(logn)：取对数得logn * log(logn)，增长速度快于F4的3logn（因log(logn)→∞），故F6 ~ F4 < F3成立。
  4. F7(n)=2^(logn)^2：化简为n^(logn)，取对数得(logn)^2，增长速度快于F3的logn * log(logn)（因(logn)^2/(logn*log(logn))=logn/log(logn)→∞），故F3 < F7成立。
  5. F1(n)=n^(n/2)：取对数得(n/2)logn，增长速度远快于F7的(logn)^2，故F7 < F1成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Goonturr