Matlab FFT结果：属于功率谱密度还是振幅谱密度？

背景知识 #

FFT的原始振幅结果与信号长度L直接相关，若要得到与长度无关的频域结果，通常会使用功率谱密度（PSD）或振幅谱密度（ASD），计算公式如下：

• 原始FFT振幅：$Y$
• 信号长度：$L$
• 功率谱密度：$\text{PSD} = \frac{|Y|^2}{L}$
• 振幅谱密度：$\text{ASD} = \frac{|Y|}{\sqrt{L}}$

问题描述 #

Matlab官方示例中，对时长50s和500s的同构信号执行FFT后，得到的振幅结果几乎一致。代码中使用了P2 = abs(FFTcomplex)/L进行归一化，再对单侧谱（除直流和奈奎斯特频率）做2倍修正，但这个归一化公式和PSD、ASD的公式均不相同，为何仍能得到与信号长度无关的振幅？

示例代码 #

% Signal 1    
sps = 1000;                    % 采样频率
T = 1/sps;                     % 采样周期
Frequency1 = 150;              % 频率1 [Hz]
SignalAmplitude1 = 1;          % mm/s
Frequency2 = 45;               % 主频率 [Hz]
SignalAmplitude2 = 1.2;        % mm/s
L = 50;                        % 信号时长，秒
L = L*1000;                    % 转换为毫秒
time = (0:L-1)*T;              % 时间向量
Signal = cos(2*pi*Frequency1*time)*SignalAmplitude1 + sin(2*pi*Frequency2*time)*SignalAmplitude2;

f = sps*(0:(L/2))/L;
FFTcomplex = fft(Signal);
P2 = abs(FFTcomplex)/L;
P1 = P2(:,round(1:L/2+1));
P1(:,2:end-1) = 2*P1(:,2:end-1);
Ampl_FFT_1 = P1;

% Signal 2
sps = 1000;                    % 采样频率
T = 1/sps;                     % 采样周期
Frequency1 = 150;              % 频率1 [Hz]
SignalAmplitude1 = 1;          % mm/s
Frequency2 = 45;               % 主频率 [Hz]
SignalAmplitude2 = 1.2;        % mm/s
L = 500;                        % 信号时长，秒
L = L*1000;                    % 转换为毫秒
time = (0:L-1)*T;              % 时间向量
Signal = cos(2*pi*Frequency1*time)*SignalAmplitude1 + sin(2*pi*Frequency2*time)*SignalAmplitude2;

f = sps*(0:(L/2))/L;
FFTcomplex = fft(Signal);
P2 = abs(FFTcomplex)/L;
P1 = P2(:,round(1:L/2+1));
P1(:,2:end-1) = 2*P1(:,2:end-1);
Ampl_FFT_2 = P1;

sum(Ampl_FFT_2)-sum(Ampl_FFT_1)

问题解析 #

1. 原始FFT的幅值特性 #

对于纯正弦信号 $x(t) = A\cos(2\pi ft)$，其N点FFT的双侧谱中，对应频率点的复数幅值为 $\frac{N \cdot A}{2}$。此时用abs(Y)/N归一化后，得到的是 $\frac{A}{2}$，再对单侧谱（除直流和奈奎斯特频率）乘以2，就直接还原了时域信号的真实振幅A——这个值仅由原始信号的振幅决定，和信号长度N无关。

2. 与PSD/ASD的本质区别 #

PSD和ASD的核心是描述信号功率/振幅在频域的密度分布，单位带有“每赫兹”的维度（例如PSD为$\text{mm}^2/\text{s}2/\text{Hz}$，ASD为$\text{mm/s}/\sqrt{\text{Hz}}$），目的是让不同频率带宽下的谱特性具备可比性。而Matlab示例中的归一化逻辑，是还原时域信号的真实振幅，结果单位与原始信号一致（示例中为mm/s），和频率带宽无关，二者的设计目标完全不同。

3. 长度不影响结果的原因 #

无论信号长度是50s还是500s，原始信号的振幅A固定不变。FFT的幅值会随采样点数N线性增大（因为N越大，频域求和的累计值越高），因此除以N后刚好抵消了N的影响，再通过2倍修正还原单侧谱的振幅，最终结果自然与信号长度无关。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Daniele F.