如何计算球体表面点经Roll、Pitch、Yaw三维旋转后的坐标？

首先明确Unity的核心旋转规则：采用左手坐标系，旋转顺序固定为 Yaw（绕Y轴）→ Pitch（绕X轴）→ Roll（绕Z轴），角度方向定义为从轴正方向看向原点时的顺时针旋转。要手动计算旋转后的坐标，需通过旋转矩阵分步相乘实现，具体步骤如下：

1. 角度转弧度 #

三角函数计算需使用弧度，转换公式：弧度 = 角度 × π / 180
针对你的示例：

• Yaw（α=15°）：≈0.2618 rad，cosα≈0.9659，sinα≈0.2588
• Pitch（β=30°）：≈0.5236 rad，cosβ≈0.8660，sinβ≈0.5
• Roll（γ=45°）：≈0.7854 rad，cosγ≈0.7071，sinγ≈0.7071

2. 单个轴的旋转矩阵 #

每个轴的旋转矩阵如下（向量按列向量处理，矩阵乘法顺序为从右到左，即先应用Yaw，再Pitch，最后Roll）：

绕Y轴（Yaw）旋转矩阵 #

[ cosα   0   sinα ]
[  0     1    0   ]
[ -sinα  0   cosα ]

绕X轴（Pitch）旋转矩阵 #

[ 1    0      0     ]
[ 0  cosβ  -sinβ ]
[ 0  sinβ   cosβ ]

绕Z轴（Roll）旋转矩阵 #

[ cosγ  -sinγ  0 ]
[ sinγ   cosγ  0 ]
[ 0       0    1 ]

3. 分步计算旋转后的坐标 #

原坐标为 P = (1, 0, 0)，按旋转顺序逐步计算：

第一步：应用Yaw旋转

将P与Yaw矩阵相乘，得到中间向量P1：

P1.x = 1×cosα + 0×0 + 0×(-sinα) = cosα ≈ 0.9659
P1.y = 1×0 + 0×1 + 0×0 = 0
P1.z = 1×sinα + 0×0 + 0×cosα = -sinα ≈ -0.2588

P1 ≈ (0.9659, 0, -0.2588)

第二步：应用Pitch旋转

将P1与Pitch矩阵相乘，得到中间向量P2：

P2.x = P1.x×1 + P1.y×0 + P1.z×0 = 0.9659
P2.y = P1.x×0 + P1.y×cosβ + P1.z×(-sinβ) = 0 + 0 + (-0.2588)×(-0.5) ≈ 0.1294
P2.z = P1.x×0 + P1.y×sinβ + P1.z×cosβ = 0 + 0 + (-0.2588)×0.8660 ≈ -0.2241

P2 ≈ (0.9659, 0.1294, -0.2241)

第三步：应用Roll旋转

将P2与Roll矩阵相乘，得到最终坐标P3：

P3.x = P2.x×cosγ + P2.y×(-sinγ) + P2.z×0 ≈ 0.9659×0.7071 - 0.1294×0.7071 ≈ 0.5915
P3.y = P2.x×sinγ + P2.y×cosγ + P2.z×0 ≈ 0.9659×0.7071 + 0.1294×0.7071 ≈ 0.7745
P3.z = P2.x×0 + P2.y×0 + P2.z×1 = -0.2241

最终结果 #

原坐标(1,0,0)经过[Roll=45°, Pitch=30°, Yaw=15°]旋转后，新坐标约为：
(0.5915, 0.7745, -0.2241)

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Blast