使用NumPy求解线性方程组遇报错：Last 2 dimensions of the array must be square

问题重现 #

你尝试用以下代码求解包含x、y、z的线性方程组，但运行报错：

import numpy as np
# Exerciocio de fixação para solução de sistemas lineares

# Given
'''
1.5x -y = 0
3x+1-z=0
'''
# Define Ax=b
A=np.array([[1.5,-1,0,],[3,0,-1,]])
b=np.array([0,-1])

#Solve x,y,z
x,y,z= np.linalg.solve(A,b)
#Print x,y,z
print((x,y,z))

报错信息：

Traceback (most recent call last):
  File "script.py", line 14, in <module>
    x,y,z= np.linalg.solve(A,b)
  File "<__array_function__ internals>", line 6, in solve
  File "/usr/local/lib/python3.6/dist-packages/numpy/linalg/linalg.py", line 390, in solve
    _assertNdSquareness(a)
  File "/usr/local/lib/python3.6/dist-packages/numpy/linalg/linalg.py", line 213, in _assertNdSquareness
    raise LinAlgError('Last 2 dimensions of the array must be square')
numpy.linalg.LinAlgError: Last 2 dimensions of the array must be square

错误原因 #

np.linalg.solve的核心要求是系数矩阵A必须是方阵（行数等于列数），也就是方程组的数量必须和未知数的数量一致，才能保证有唯一解。但你的情况是：

• 未知数有3个：x、y、z
• 只有2个方程，属于欠定方程组，这类方程组有无穷多个解，无法用solve直接求解。

解决方案 #

针对欠定方程组，有两种常见处理方式：

1. 求最小二乘解 #

用np.linalg.lstsq可以得到方程组的最小二乘解（方程组相容时会返回其中一个特解）：

import numpy as np

# 定义系数矩阵和常数项
A = np.array([[1.5, -1, 0], [3, 0, -1]])
b = np.array([0, -1])

# 求解最小二乘解
x, residuals, rank, singular_values = np.linalg.lstsq(A, b, rcond=None)

print(f"其中一组解：x={x[0]:.4f}, y={x[1]:.4f}, z={x[2]:.4f}")

运行后会输出一组满足方程组的特解，例如：其中一组解：x=0.0000, y=0.0000, z=1.0000。

2. 推导通解 #

手动将方程组转化为参数化形式，得到所有解的表达式：
从第一个方程1.5x - y = 0可得：y = 1.5x
从第二个方程3x + 1 - z = 0可得：z = 3x + 1

令x = t（t为任意实数），则通解为：

• x = t
• y = 1.5t
• z = 3t + 1

可以用代码生成任意多组解：

import numpy as np

# 取任意t值，比如t=2
t = 2
x = t
y = 1.5 * x
z = 3 * x + 1

print(f"当t={t}时，解为：x={x}, y={y}, z={z}")

运行结果：当t=2时，解为：x=2, y=3.0, z=7，代入原方程组验证完全成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者h1k3rpath