求完美二叉树自上而下根到叶路径组合数的计算公式

一、基于树高度的公式推导 #

题目中定义完美二叉树高度为h时，总节点数公式为 N = 2^(h+1) - 1。结合示例（h=3时路径数为8），推导逻辑如下：

• 完美二叉树的叶子节点全部集中在最底层，每往下一层节点数量翻倍：根节点的子节点共2个，第2层有4个，以此类推，第h层的叶子节点数量为2^h。
• 每个叶子节点对应唯一一条根到叶的路径，因此路径组合数等于叶子节点数，即：
  路径组合数 = 2^h

二、基于总节点数的公式推导 #

从总节点数公式反向推导：

1. 对总节点数公式变形：N + 1 = 2^(h+1)
2. 两边取以2为底的对数：log₂(N+1) = h + 1，整理得 h = log₂(N+1) - 1
3. 将h代入路径数公式2^h，化简后得到：
   路径组合数 = (N + 1) / 2

验证示例：总节点数N=15时，(15+1)/2=8，与实际路径数完全匹配。

公式总结 #

• 已知高度h：路径组合数 = 2^h
• 已知总节点数N：路径组合数 = (N + 1) / 2

内容的提问来源于stack exchange，提问作者D Surya Praveen