如何计算圆外一点到圆的切线切点坐标？

已知参数 #

• 圆外点坐标：(x₁, y₁)（该点始终在圆外，不接触或位于圆上）
• 圆心坐标：(x₂, y₂)
• 圆半径：r

计算步骤与公式 #

1. 计算基础中间值 #

先计算圆外点到圆心的距离d及其平方：

d² = (x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)²
d = √d²

由于点在圆外，必然满足d > r。

2. 向量法计算切点坐标（推荐） #

定义从圆外点指向圆心的向量：vec{OC} = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)
计算该方向的单位向量：

uₓ = (x₂ - x₁)/d
uᵧ = (y₂ - y₁)/d

垂直于u的两个单位向量（对应两个切线方向）：

vₓ = -uᵧ, vᵧ = uₓ
v'ₓ = uᵧ, v'ᵧ = -uₓ

两个切点坐标可直接通过以下公式得出：

切点1 (x₃, y₃)

x₃ = x₁ + uₓ*(d² - r²)/d - r*vₓ
y₃ = y₁ + uᵧ*(d² - r²)/d - r*vᵧ

切点2 (x₄, y₄)

x₄ = x₁ + uₓ*(d² - r²)/d + r*vₓ
y₄ = y₁ + uᵧ*(d² - r²)/d + r*vᵧ

展开后也可写成：

x₃ = x₁ + (x₂ - x₁)*(d² - r²)/d² + r*(y₂ - y₁)/d
y₃ = y₁ + (y₂ - y₁)*(d² - r²)/d² - r*(x₂ - x₁)/d
x₄ = x₁ + (x₂ - x₁)*(d² - r²)/d² - r*(y₂ - y₁)/d
y₄ = y₁ + (y₂ - y₁)*(d² - r²)/d² + r*(x₂ - x₁)/d

3. 代数方程法计算 #

若偏好代数推导，可通过联立切线方程与圆方程求解：

• 设切点(x, y)满足：圆方程(x - x₂)² + (y - y₂)² = r²，且切线垂直于半径，即斜率乘积为-1：(y - y₁)/(x - x₁) * (y - y₂)/(x - x₂) = -1
  联立化简后可解得切点坐标，最终表达式与向量法一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Rolens Centottantaquattro