使用Julia求解N元方程系统：工资向量求解与算法选择问题

输入条件 #

• N个可同时作为工作地和居住地的地点集合
• 观测得到的各工作地工人数量向量 $L_i$（$i \in N$）
• 观测得到的各居住地居民数量向量 $R_n$（$n \in N$）
• 居住地与工作地之间的观测距离矩阵
• 形状参数$\epsilon$

具体参数（N=3，$\epsilon=5$） #

d = [1 1.5 3 ; 1.5 1 1.5 ; 3 1.5 1] # 距离矩阵
L_i = [13  69  18] # 各工作地工人数量向量
R_n = [27; 63; 10]

待求解方程组 #

需找到满足以下方程组的N维工资向量$w_i$（$i=1,2,...,N$）：
对每个工作地i，有：
$$
L_i = \sum_{n=1}^N R_n \cdot \frac{(w_i / d_{ni})^{\epsilon}{\sum_{l=1}}N (w_l / d_{nl})^\epsilon}
$$
其中$l$遍历所有工作地。

疑问 #

必须通过工人向量与工资向量的迭代算法求解该方程组，还是存在直接求解的方法？

本人尝试的迭代实现代码 #

w_i = [1 ; 1 ; 1]
er = 1
n = 1
while er > 1e-3
    # 根据当前工资计算各工作地的预测工人数量
    L_i_calc = ((w_i ./ d).^ϵ) ./ sum(((w_i ./ d).^ϵ), dims=1) * R_n
    # 计算预测值与观测值的最大误差
    er = maximum(abs.(L_i .- L_i_calc))
    # 更新工资向量
    w_i = 0.7.*w_i + 0.3.*w_i.*((L_i .- L_i_calc) ./ L_i_calc)
    n = n + 1
end

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Pol Cosentino