MILP中如何将变量设为另一变量的绝对值？

可行。绝对值函数本身是非线性的，但可以通过线性约束转化（或结合少量整数变量）适配MILP的框架，下面是两种常用的落地方式：

方法一：无额外整数变量的直接约束 #

利用绝对值的核心性质：对任意x，|x| = y等价于-y ≤ x ≤ y，同时配合非负约束和变量范围限制，约束组如下：

• -y ≤ x ≤ y
• y ≥ 0
• x ∈ [-M, M], x ∈ ℤ
• y ∈ ℕ（若要求y为整数，也可设为非负连续变量，视需求而定）

注意：这种方法需要你的模型目标函数会驱动y取最小值（比如目标中包含最小化y的项），否则y可能取大于|x|的冗余值。

方法二：引入0-1变量强制严格等价 #

如果需要不依赖目标函数，直接强制y严格等于|x|，可以引入0-1整数变量z，将x拆分为非负分量x⁺和非正分量x⁻：

• x = x⁺ - x⁻
• y = x⁺ + x⁻
• x⁺ ≤ M * z
• x⁻ ≤ M * (1 - z)
• x⁺ ≥ 0, x⁻ ≥ 0, x⁺, x⁻ ∈ ℕ
• z ∈ {0, 1}
• x ∈ [-M, M], x ∈ ℤ

逻辑说明：

• 当z=1时，x⁻被约束为0，此时x=x⁺≥0，y=x⁺=|x|
• 当z=0时，x⁺被约束为0，此时x=-x⁻≤0，y=x⁻=|x|

选型建议 #

• 若目标函数天然包含最小化y的逻辑，优先选方法一，模型更简洁，求解效率更高
• 若需要独立保证y=|x|（不受目标函数影响），选方法二，约束更严谨

内容的提问来源于stack exchange，提问作者BladesV