如何求解正态分布函数的概率密度函数并绘制图像？附实例疑问

针对你提到的「标准正态分布+1」（即随机变量 ( Y = X + 1 )，其中 ( X \sim N(0,1) )）的情况，用分布函数法就能直接推导其概率密度函数（pdf），步骤如下：

1. 明确已知条件 #

标准正态分布 ( X ) 的pdf为：

φ(x) = (1/√(2π)) * e^(-x²/2)

其累积分布函数（CDF）为 ( \Phi(x) = P(X ≤ x) )，即pdf从(-\infty)到(x)的积分。

2. 求Y的分布函数 #

Y的分布函数定义为 ( F_Y(y) = P(Y ≤ y) )，代入 ( Y = X + 1 ) 可得：

( F_Y(y) = P(X + 1 ≤ y) = P(X ≤ y - 1) = \Phi(y - 1) )

3. 对分布函数求导得到pdf #

概率密度函数是累积分布函数的导数，对 ( F_Y(y) ) 求导：

f_Y(y) = d/dy [Φ(y - 1)] = φ(y - 1)

代入标准正态pdf的形式，最终得到Y的pdf：

f_Y(y) = (1/√(2π)) * e^(-(y-1)²/2)

关于图像的纠正 #

你提到的「将原图像上移1个单位」是错误的：pdf的核心性质是全定义域积分和为1，上移会导致积分和大于1，不符合pdf的定义。实际图像是原标准正态pdf向右平移1个单位——原分布在(x=0)处取最大值，平移后的分布在(y=1)处取最大值，整体形状不变，只是位置平移。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者pupupyguy