技术问询：∃!x,∃!y,P(x,y)是否蕴含∃!xy,P(fst xy)(snd xy)？

首先明确结论：你提到的反向推导不普遍成立，同时也无法证明反向推导的否定（即原反向蕴含并非恒假），具体分析如下：

1. 反向推导不成立：构造反例 #

我们可以找到一个具体的谓词P，使得exists! x, exists! y, P x y成立，但exists! xy, P (fst xy) (snd xy)不成立。

在Coq中定义如下：

Definition A := bool.
Definition P (x y : A) : Prop :=
  (x = false ∧ y = false) ∨ (x = true ∧ y = false) ∨ (x = true ∧ y = true).

验证左边命题成立 #

exists! x, exists! y, P x y的含义是：存在唯一的x，使得存在唯一的y满足P x y。
我们可以在Coq中证明该命题：

Goal exists! x : A, exists! y : A, P x y.
Proof.
  exists false. split.
  - (* 证明x=false时存在唯一y满足P *)
    exists false. split.
    + apply conj. reflexivity. (* P false false成立 *)
    + intros y' H. inversion H. (* 任何满足P false y'的y'必为false *)
      * subst. reflexivity.
      * inversion H0. (* 排除x=true的情况 *)
      * inversion H0.
  - (* 证明不存在其他x满足条件 *)
    intros x' H'. destruct x'.
    + (* x'=false，直接重合 *) trivial.
    + (* x'=true，导出矛盾：x=true时存在多个y满足P *)
      destruct H' as [y' [H_has H_unique]].
      exists false. exists true. split.
      * apply (H_unique true). right. left. reflexivity. (* P true false成立 *)
      * apply (H_unique false). right. right. reflexivity. (* P true true成立 *)
Qed.

验证右边命题不成立 #

exists! xy, P (fst xy) (snd xy)的含义是：存在唯一的配对(x,y)满足P x y。
我们可以证明该命题的否定：

Goal ~ exists! xy : A*A, P (fst xy) (snd xy).
Proof.
  intro H. destruct H as [xy [H_exists H_unique]].
  destruct xy as [x y].
  (* 构造另一个满足P的配对，与xy不同 *)
  match x, y with
  | false, false => exists (true, false). apply conj. right. left. reflexivity.
  | true, false => exists (true, true). apply conj. right. right. reflexivity.
  | true, true => exists (false, false). apply conj. left. split; reflexivity.
  end. apply H_unique. contradiction.
Qed.

这个例子说明反向推导并非普遍成立。

2. 无法证明反向推导的否定 #

同样存在谓词P，使得exists! x, exists! y, P x y和exists! xy, P (fst xy) (snd xy)同时成立，因此你无法证明(exists! x, exists! y, P x y) → ¬(exists! xy, P (fst xy) (snd xy))。

定义最简单的谓词：

Definition P' (x y : nat) : Prop := x = 0 ∧ y = 0.

验证两边命题都成立 #

• 左边：仅x=0满足exists! y, P' x y（唯一y=0），因此exists! x, exists! y, P' x y成立；
• 右边：仅配对(0,0)满足P'，因此exists! xy, P' (fst xy) (snd xy)成立。

对应的Coq证明：

Goal exists! x : nat, exists! y : nat, P' x y.
Proof.
  exists 0. split.
  - exists 0. split. split; reflexivity. intros y' H. inversion H. subst. reflexivity.
  - intros x' H'. destruct x'.
    + trivial.
    + destruct H' as [y' [H1 H2]]. apply H2 with 0. split; reflexivity. inversion H1.
Qed.

Goal exists! xy : nat*nat, P' (fst xy) (snd xy).
Proof.
  exists (0,0). split. split; reflexivity. intros xy' H. destruct xy' as [x y]. inversion H. subst. reflexivity.
Qed.

总结 #

反向推导既不是普遍成立的，也不是普遍不成立的——其是否成立完全取决于谓词P的定义。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Zazaeil